圆的解析表示

到目前为止，圆还只是“图形”和“性质”。要计算，就得把它写进坐标系——而坐标系的选择本身就带来问题：用直角坐标，圆的方程是二次的；用极坐标，某些圆反而变得异常简单。

直角坐标下，$|OP| = r$ 被推成标准方程 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，圆心和半径可以直接从方程里读出来；由已知圆心半径或直径端点写出方程只是它的逆运算。把标准方程展开成一般式 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，再用配方法还原回标准式，也就给出了判断一个方程是否表示圆的条件 $D^2 + E^2 - 4F > 0$。

参数方程是另一条出路：$(x, y) = (a + r\cos t,\ b + r\sin t)$，其中 $t$ 正是从圆心量起的弧度角——参数在这里不是人为编号，而是圆本身自带的角度。极坐标则把圆压得更扁：圆心在极点的圆是 $r = a$，圆心在极轴上的圆是 $r = 2a\cos\theta$，在垂直轴上的是 $r = 2a\sin\theta$，一般位置写成 $r^2 - 2r_0r\cos(\theta - \theta_0) + r_0^2 - a^2 = 0$。

学完这一章，你能由圆心与半径写出标准方程和一般方程，能判定一个二次方程是否表示圆并读出圆心半径，能写出参数方程并说明参数的几何意义，也能在直角坐标与极坐标之间来回转换。