圆的线性变换

到目前为止，圆的位置都是“给定”的。这一章反过来问：主动去动一个圆会怎样？旋转、缩放、平移、反射——每一种都可以写成一个矩阵作用在坐标上，而矩阵正是线性变换的语言。

先建立语言：线性变换 $T$ 满足 $T(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})$ 与 $T(\lambda\mathbf{x}) = \lambda T(\mathbf{x})$，它由标准向量上的取值唯一确定，因而总能用一个矩阵表示；反过来每个矩阵也定义一个线性变换。

然后把圆放进去：旋转矩阵 $R(\phi) = \begin{bmatrix}\cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi\end{bmatrix}$ 作用后有 $x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2$，所以圆旋转后仍是圆；缩放矩阵把半径变成 $kr$；平移在齐次坐标下也能写成矩阵；反射矩阵则把圆映成圆心关于该直线对称的新圆，半径不变。

复合变换把问题推得更深：变换后的图形什么时候还是圆？答案是矩阵为正交矩阵时——它保持向量长度，因而保持圆的形状；一般线性变换会把圆拉成椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，行列式正是面积缩放比，奇异值分解给出最一般的描述。

学完这一章，你能用矩阵表示旋转、缩放、平移与反射，能判断哪些变换把圆映成圆、哪些映成椭圆，并能解释行列式与正交矩阵各自的几何意义。