圆的平移

“同学们，今天我们要学习的是圆的平移。不过在开始之前，我想问大家一个问题：平移能用矩阵表示吗？”

“今天是我来到呼噜星球的第56天。当我问起这个问题时，教室里的呼噜学生们面面相觑，有的摇头，有的皱眉。我能感受到他们内心的疑惑——“地球老师又在讲些奇怪的东西了。“

问题提出

“同学们，请看这个简单的问题：”

圆的方程是 $x^2 + y^2 = 1$，如果我们将其沿x轴平移2个单位，y轴平移3个单位，新的圆的方程应该是什么样的？

学生们七嘴八舌地回答： “应该是 $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 1$ 吧？” “没错！中心点从 $(0,0)$ 移动到了 $(2,3)$！”

“非常好！“我微笑着说，“那么我的问题是：这个过程能用矩阵来表示吗？”

“我们之前学过线性变换，比如旋转、缩放、剪切，它们都可以用2×2矩阵来表示。但是平移呢？”

我拿起粉笔，在黑板上写下了一个简单的平移：

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

“这个表达式不是矩阵乘法，而是向量加法。标准的线性变换形式应该是 $\mathbf{x'} = A\mathbf{x}$，这里却有额外的偏移项。”

一个学生举手提问：“老师，那平移不是线性变换吗？”

让我验证一下。线性变换需要满足两个性质：

1. $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$
2. $T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u})$

对于平移 $T(x,y) = (x+2, y+3)$：

$T((0,0)) = (2,3)$ $T(2(0,0)) = T(0,0) = (2,3)$ 但 $2T(0,0) = 2(2,3) = (4,6)$

显然 $T(2(0,0)) \neq 2T(0,0)$，所以平移不满足线性变换的性质。

“同学们发现了什么？平移确实不是线性变换！“我兴奋地说，“那我们就不能用2×2矩阵来表示平移了。“

观察与猜想

“但是，“话锋一转，“我们真的完全无法用矩阵表示平移吗？”

我向学生们展示了一个巧妙的方法：

“让我们把二维坐标 $(x,y)$ 扩展为三维的齐次坐标 $[x,y,1]$。”

“这时候，平移 $(x,y) \rightarrow (x+2,y+3)$ 就可以这样表示：”

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$

学生们惊讶地看着这个表达式。一个学生兴奋地说：“老师，真的可以！这样我们就可以用3×3矩阵来表示平移了！”

“现在让我们来验证一下这个矩阵是否正确。”

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + 0\cdot y + 2\cdot 1 \\ 0\cdot x + 1\cdot y + 3\cdot 1 \\ 0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2 \\ y+3 \\ 1 \end{pmatrix}$

“完美！“我拍着手说，“这个3×3矩阵确实实现了平移操作。”

“现在我们回到最初的问题：圆的平移。”

原圆：$x^2 + y^2 = 1$ 平移后的圆：$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 1$

让我用齐次坐标来重新表达这个过程：

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2 \\ y+3 \\ 1 \end{pmatrix}$

然后转回普通坐标： $x' = x + 2 \Rightarrow x = x' - 2$ $y' = y + 3 \Rightarrow y = y' - 3$

代入原方程： $(x'-2)^2 + (y'-3)^2 = 1$

“同学们，这就是我们想要的结果！”

严格证明

现在让我们来严格证明为什么齐次坐标能够表示平移。

“让我证明任意平移都可以用3×3矩阵表示。”

设平移向量为 $(t_x, t_y)$，则平变换可以表示为：

$T(x,y) = (x + t_x, y + t_y)$

对应的齐次坐标矩阵为：

$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

验证： $M \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + 0\cdot y + t_x\cdot 1 \\ 0\cdot x + 1\cdot y + t_y\cdot 1 \\ 0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ 1 \end{pmatrix}$

“这证明了我们的方法是正确的。”

现在让我们看看如何处理圆的平移。给定一个圆的方程：

$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$

要将其平移 $(t_x, t_y)$，我们需要：

1. 将圆上点 $(x,y)$ 变换为 $(x+t_x, y+t_y)$
2. 新圆的中心为 $(h+t_x, k+t_y)$
3. 新圆的方程为 $(x-(h+t_x))^2 + (y-(k+t_y))^2 = r^2$

“同学们，这个变换过程可以用矩阵完全表示。”

让我们看一个具体的例子：

例题1：将圆 $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 4$ 沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴负方向平移1个单位。求新圆的方程。

解答：

原圆：$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 4$ 中心：$(1, -2)$，半径：$2$

平移向量：$(3, -1)$

新圆中心：$(1+3, -2-1) = (4, -3)$

新圆方程：$(x-4)^2 + (y+3)^2 = 4$

对应的齐次坐标变换矩阵：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

“现在让我们看看平移与旋转的组合。”

例题2：将单位圆 $x^2 + y^2 = 1$ 先旋转45度，再平移 $(2,1)$。求最终变换的矩阵。

解答：

旋转45度矩阵： $R = \begin{pmatrix} \cos45° & -\sin45° & 0 \\ \sin45° & \cos45° & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

平移 $(2,1)$ 矩阵： $T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

组合变换矩阵： $T \cdot R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

计算矩阵乘法： $T \cdot R = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 2 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

“同学们注意到了吗？这个组合矩阵的前两列包含了旋转信息，第三列包含了平移信息。”

现在让我们计算一个点经过这个变换后的结果。取点 $(1,0)$：

1. 先旋转45度： $(1,0) \rightarrow (\cos45°, \sin45°) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

2. 再平移 $(2,1)$： $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \rightarrow (\frac{\sqrt{2}}{2}+2, \frac{\sqrt{2}}{2}+1)$

使用齐次坐标计算：

$\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 2 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot 0 + 2 \cdot 1 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 + 1 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

“结果完全一致！这说明我们的方法是正确的。”

例题3：求将圆 $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 9$ 进行以下变换后的新圆方程：

1. 先缩放2倍
2. 再旋转30度
3. 最后平移 $(3,-2)$

解答：

1. 缩放2倍矩阵： $S = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. 旋转30度矩阵： $R = \begin{pmatrix} \cos30° & -\sin30° & 0 \\ \sin30° & \cos30° & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 平移 $(3,-2)$ 矩阵： $T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

组合变换矩阵： $M = T \cdot R \cdot S = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

先计算 $R \cdot S$： $R \cdot S = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -1 & 0 \\ 1 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

再计算 $T \cdot (R \cdot S)$： $T \cdot (R \cdot S) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -1 & 0 \\ 1 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -1 & 3 \\ 1 & \sqrt{3} & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

原圆中心：$(-1, 2)$，半径：$3$

缩放后半径：$3 \times 2 = 6$

变换后新圆中心： $\begin{pmatrix} \sqrt{3} & -1 & 3 \\ 1 & \sqrt{3} & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 1 \\ 1 \cdot (-1) + \sqrt{3} \cdot 2 + (-2) \cdot 1 \\ 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sqrt{3} - 2 + 3 \\ -1 + 2\sqrt{3} - 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - \sqrt{3} \\ -3 + 2\sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}$

所以新圆方程为： $(x - (1 - \sqrt{3}))^2 + (y - (-3 + 2\sqrt{3}))^2 = 36$

化简： $(x - 1 + \sqrt{3})^2 + (y + 3 - 2\sqrt{3})^2 = 36$

“同学们，通过齐次坐标，我们可以用矩阵表示任意复杂的变换组合！“

结论与应用

今天我们学习了圆的平移，收获如下：

1. 平移不是线性变换，因为不满足线性变换的性质 $T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u})$

2. 齐次坐标是解决问题的关键，将二维坐标扩展到三维：$(x,y) \rightarrow [x,y,1]$

3. 3×3矩阵可以表示平移： $\begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+t_x \\ y+t_y \\ 1 \end{pmatrix}$

4. 圆的平移：原圆 $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ 平移 $(t_x,t_y)$ 后变为 $(x-(h+t_x))^2 + (y-(k+t_y))^2 = r^2$

5. 变换组合：多个变换可以通过矩阵乘法组合，如先旋转再平移：$T \cdot R$

“同学们，齐次坐标是计算机图形学的基础。在游戏开发、CAD设计、虚拟现实等领域，我们每天都在使用这些概念。”

“今天的作业是：给定圆 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 16$，要求：

1. 先缩放0.5倍
2. 再旋转60度
3. 最后平移 $(-1,3)$ 求变换后的新圆方程，并写出完整的变换矩阵组合。”

“我相信通过今天的课程，大家对圆的平移和齐次坐标有了深入的理解！记住，数学不仅是抽象的符号，更是解决实际问题的强大工具！”