用数列逼近π

问题提出

“同学们，“我站在呼噜星球的教室里，“我们已经学习了圆的周长公式 $C = 2\pi r$ 和面积公式 $S = \pi r^2$ 。但是， $\pi$ 到底是什么？它的值是多少？”

一个学生说：" $\pi \approx 3.14159...$ "

我追问：“你是怎么知道这个值的？能精确计算出来吗？”

学生们陷入思考。

“今天，我们要学习一种重要的方法——用数列逼近π。这种方法不仅让我们理解 $\pi$ 的来源，还能计算出任意精度的 $\pi$ 值。”

我提出几个核心问题：

如何构造一个数列，使其趋向于 $\pi$ ？
数列逼近的原理是什么？
如何保证逼近的精度和效率？

观察与猜想

回顾：多边形逼近

上节课我们学习了用正多边形逼近圆的方法。

设圆的半径为 $r$ ，内接正 $n$ 边形的周长为 $L_n$ ：

L_n = 2nr \sin\frac{\pi}{n}

当 $n$ 越大， $L_n$ 越接近圆的周长 $C = 2\pi r$ 。

定义：

\pi_n = \frac{L_n}{2r} = n \sin\frac{\pi}{n}

则 $\pi_n$ 是一个数列，当 $n \to \infty$ 时， $\pi_n \to \pi$ 。

数列的构造

“让我们计算前几项：”

学生们开始计算：

$n = 6$ （正六边形）： $\pi_6 = 6 \sin\frac{\pi}{6} = 6 \times \frac{1}{2} = 3$
$n = 12$ （正十二边形）： $\pi_{12} = 12 \sin\frac{\pi}{12} \approx 3.1058$
$n = 24$ ： $\pi_{24} = 24 \sin\frac{\pi}{24} \approx 3.1326$
$n = 48$ ： $\pi_{48} = 48 \sin\frac{\pi}{48} \approx 3.1393$
$n = 96$ ： $\pi_{96} = 96 \sin\frac{\pi}{96} \approx 3.1410$

学生们发现：“随着 $n$ 增大， $\pi_n$ 越来越接近 $\pi \approx 3.14159...$ “

猜想

基于观察，学生们提出猜想：

数列 $\{\pi_n\}$ 单调递增，趋向于 $\pi$
可以通过增大 $n$ 来提高精度
存在更高效的数列逼近方法

严格证明

数列极限的概念

数列极限

设 $\{a_n\}$ 是一个数列， $A$ 是一个常数。如果对于任意给定的 $\epsilon > 0$ （无论多么小），都存在正整数 $N$ ，使得当 $n > N$ 时，有：

|a_n - A| < \epsilon

则称数列 $\{a_n\}$ 的极限为 $A$ ，记作：

\lim_{n \to \infty} a_n = A

或 $a_n \to A$ （当 $n \to \infty$ ）。

直观理解：当 $n$ 足够大时， $a_n$ 与 $A$ 的距离可以任意小。

证明数列 $\{\pi_n\}$ 的极限

定理：数列 $\pi_n = n \sin\frac{\pi}{n}$ 的极限为 $\pi$ ，即：

\lim_{n \to \infty} n \sin\frac{\pi}{n} = \pi

证明：

设 $x = \frac{\pi}{n}$ ，当 $n \to \infty$ 时， $x \to 0$ 。

则：

\lim_{n \to \infty} n \sin\frac{\pi}{n} = \lim_{x \to 0} \frac{\pi}{x} \sin x = \pi \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}

需要证明 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 。

证明 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ：

在单位圆中，设角 $x$ （弧度制， $0 < x < \frac{\pi}{2}$ ）对应的：

弧长为 $x$
弦长为 $2\sin x$ （等腰三角形，两腰为1，顶角为 $2x$ ）
切线段长为 $2\tan x$ （从圆心到切线的距离）

由几何关系：

\text{弦长} < \text{弧长} < \text{切线段长}

即：

2\sin x < x < 2\tan x = \frac{2\sin x}{\cos x}

同除以 $2\sin x$ （因为 $\sin x > 0$ ）：

1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}

取倒数（不等号反转）：

\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1

当 $x \to 0$ 时， $\cos x \to 1$ 。

由夹逼定理：

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

因此：

\lim_{n \to \infty} n \sin\frac{\pi}{n} = \pi \cdot 1 = \pi

证毕。

数列的单调性

定理：数列 $\{\pi_n\}$ 是单调递增的。

证明：

设 $f(x) = x \sin\frac{\pi}{x}$ ，其中 $x > 2$ 。

计算导数：

f'(x) = \sin\frac{\pi}{x} + x \cdot \cos\frac{\pi}{x} \cdot (-\frac{\pi}{x^2}) = \sin\frac{\pi}{x} - \frac{\pi}{x}\cos\frac{\pi}{x}

设 $\theta = \frac{\pi}{x}$ ，则 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ （因为 $x > 2$ ）。

f'(x) = \sin\theta - \theta\cos\theta

在 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ 时， $\sin\theta > 0$ , $\cos\theta > 0$ 。

由 $\tan\theta > \theta$ （当 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ ），得：

\frac{\sin\theta}{\cos\theta} > \theta \Rightarrow \sin\theta > \theta\cos\theta

因此 $f'(x) > 0$ ，函数 $f(x)$ 在 $x > 2$ 时单调递增。

所以数列 $\{\pi_n\}$ （ $n \geq 3$ ）单调递增。

证毕。

刘徽割圆术的递推公式

刘徽割圆术

中国古代数学家刘徽发明了高效的递推公式：

设正 $n$ 边形的边长为 $a_n$ ，则正 $2n$ 边形的边长为：

a_{2n} = \sqrt{2r^2 - r\sqrt{4r^2 - a_n^2}}

推导：

设圆半径为 $r$ ，正 $n$ 边形边长为 $a_n$ 。

边长加倍时，每条边被分成两条，每条新边的长度为 $a_{2n}$ 。

由几何关系（勾股定理）：

a_{2n} = \sqrt{r^2 - \left(\frac{r}{2} - \sqrt{r^2 - \frac{a_n^2}{4}}\right)^2}

简化得上述公式。

递推计算：

从正六边形开始： $a_6 = r$ （因为正六边形边长等于半径）。

逐次加倍：

$a_{12} = r\sqrt{2 - \sqrt{3}}$
$a_{24} = ...$
…

每次加倍，精度提高。

阿基米德的双重逼近

阿基米德方法

阿基米德同时使用内接和外切正多边形：

内接正 $n$ 边形周长 $L_n^{(in)} = 2nr \sin\frac{\pi}{n}$
外切正 $n$ 边形周长 $L_n^{(out)} = 2nr \tan\frac{\pi}{n}$

由几何关系：

L_n^{(in)} < C < L_n^{(out)}

即：

n \sin\frac{\pi}{n} < \pi < n \tan\frac{\pi}{n}

当 $n = 96$ 时：

3.1410 < \pi < 3.1427

阿基米德得到：

3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}

即：

3.1408 < \pi < 3.1429

结论与应用

核心结论

数列逼近原理： $\pi = \lim_{n \to \infty} n \sin\frac{\pi}{n}$
数列性质： $\{\pi_n\}$ 单调递增，有上界，收敛于 $\pi$
逼近效率：刘徽割圆术的递推公式比直接计算更高效
双重逼近：内接和外切多边形给出上下界

应用：计算π的近似值

例题：用正 $n$ 边形计算 $\pi$ ，使误差小于 $0.001$ 。

分析：

由不等式：

\pi - n\sin\frac{\pi}{n} < \pi - 96\sin\frac{\pi}{96} \approx 0.0015

需要更大的 $n$ 。

设 $n = 192$ ：

\pi_{192} = 192\sin\frac{\pi}{192} \approx 3.14145

误差约 $0.00014$ ，满足要求。

计算步骤：

从正六边形开始， $n = 6$
逐次加倍： $n = 12, 24, 48, 96, 192, ...$
使用刘徽递推公式计算边长
计算周长，得到 $\pi$ 的近似值

呼噜星人的收获

通过本节学习，呼噜星球的学生认识到：

极限的思想：用”逼近”的方法理解无限
数列的力量：数列可以逼近任意精确的值
古代智慧：刘徽和阿基米德在没有现代工具的情况下，发明了高效的算法

“老师，“一个学生说，“我发现 $\pi$ 不只是一个常数，它可以通过数列逼近来’构造’。这让我对极限有了更深的理解。”

“正是！“我赞许道，“极限不仅仅是一个抽象概念，它是实际计算的工具。通过数列逼近，我们可以计算任何超越数的近似值。下节课，我们将深入学习极限的概念。”

下节课：极限的引入。

下一章节极限的引入当正多边形边数趋于无穷时，会发生什么？