多元微积分与圆

一元微积分把圆当成一条曲线处理；可平面上的问题常常问的不是“沿这条线变化多快”，而是“在这个方向上变化多快”“围起来的区域有多大”。这需要多元微积分。

起点是二元函数 $z = f(x, y)$ 与等值线：圆的方程 $F(x, y) = x^2 + y^2 - r^2 = 0$ 就是一条等值线。偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$、$\frac{\partial f}{\partial y}$ 是沿坐标方向的变化率，由此得到切线方程；而梯度 $\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})$ 垂直于等值线，对 $F$ 而言 $\nabla F = (2x, 2y)$ 正是过该点的法线方向。

方向导数把问题推广到任意方向：若 $f$ 可微，则 $D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$，方向导数在梯度方向取最大值、反方向取最小值；沿圆周切线方向变化率为零、沿法线方向最大，这些性质在圆上表现得最干净。

积分部分则是二维版本：二重积分用累次积分把圆盘切成无数个小矩形，极坐标变换把圆盘变成矩形区域、面积元变成 $r\,dr\,d\theta$，于是圆的面积以及圆环、扇形都变得极易计算；三重积分配合球坐标算出球体体积 $\frac{4}{3}\pi r^3$；第一类曲线积分 $\oint_{\Gamma} ds$ 直接给出圆周长 $2\pi r$，Green 公式则把环绕一周的积分与内部面积联系起来。

学完这一章，你能用偏导数求圆的切线、用梯度求法线，能计算方向导数及其极值，也能用二重积分与极坐标变换算面积、用曲线积分算周长。