三角恒等式

余弦和角公式的推导

设角 $\alpha$ 和 $\beta$ 的终边分别与单位圆交于点 $A(\cos\alpha, \sin\alpha)$ 和 $B(\cos\beta, \sin\beta)$。

角 $\alpha + \beta$ 的终边与单位圆交于点 $C(\cos(\alpha+\beta), \sin(\alpha+\beta))$。

利用两点间距离公式和旋转不变性，可以推导公式。

（详细推导涉及较多几何知识，此处略去。）

公式体系

从最基本的 $\sin^2 + \cos^2 = 1$ 出发：

1. 基本恒等式：$1 + \tan^2 = \sec^2$, $1 + \cot^2 = \csc^2$

2. 和角公式：$\sin(\alpha+\beta)$, $\cos(\alpha+\beta)$, $\tan(\alpha+\beta)$

3. 差角公式：将 $\beta$ 换成 $-\beta$

4. 倍角公式：令 $\alpha = \beta = \theta$

5. 半角公式：从倍角公式解出

6. 积化和差、和差化积：从和角公式推导

所有公式都有内在联系，理解了基本公式的推导，就能推导其他公式。

例题 1：计算 $\sin 15°$

解：

$\sin 15° = \sin(45° - 30°) = \sin 45°\cos 30° - \cos 45°\sin 30°$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

例题 2：证明 $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$

证明：

$\sin 3\theta = \sin(2\theta + \theta)$

$= \sin 2\theta\cos\theta + \cos 2\theta\sin\theta$

$= 2\sin\theta\cos^2\theta + (1 - 2\sin^2\theta)\sin\theta$

$= 2\sin\theta(1 - \sin^2\theta) + \sin\theta - 2\sin^3\theta$

$= 2\sin\theta - 2\sin^3\theta + \sin\theta - 2\sin^3\theta$

$= 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$

例题 3：求 $\sin 18°$ 的精确值

解：

设 $x = 18°$，则 $5x = 90°$，即 $3x = 90° - 2x$。

$\sin 3x = \sin(90° - 2x) = \cos 2x$

$3\sin x - 4\sin^3 x = 1 - 2\sin^2 x$

设 $s = \sin x$： $3s - 4s^3 = 1 - 2s^2$

$4s^3 - 2s^2 - 3s + 1 = 0$

因式分解：$(s - 1)(4s^2 + 2s - 1) = 0$

$s = 1$（舍去）或 $s = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$

由于 $s = \sin 18° > 0$： $\sin 18° = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

例题 4：简化 $\frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta}$

解：

方法一： $\frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\sin^2\frac{\theta}{2} + \cos^2\frac{\theta}{2} + 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{\cos^2\frac{\theta}{2} - \sin^2\frac{\theta}{2}}$

$= \frac{(\sin\frac{\theta}{2} + \cos\frac{\theta}{2})^2}{(\cos\frac{\theta}{2} + \sin\frac{\theta}{2})(\cos\frac{\theta}{2} - \sin\frac{\theta}{2})}$

$= \frac{\sin\frac{\theta}{2} + \cos\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2} - \sin\frac{\theta}{2}}$

$= \frac{\tan\frac{\theta}{2} + 1}{1 - \tan\frac{\theta}{2}}$

$= \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2})$

方法二（利用半角公式）： $\frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta} = \frac{1 + \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}}{\frac{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}}$

$= \frac{1 + 2\tan\frac{\theta}{2} + \tan^2\frac{\theta}{2}}{1 - \tan^2\frac{\theta}{2}}$

$= \frac{(1 + \tan\frac{\theta}{2})^2}{(1 - \tan\frac{\theta}{2})(1 + \tan\frac{\theta}{2})}$

$= \frac{1 + \tan\frac{\theta}{2}}{1 - \tan\frac{\theta}{2}}$

$= \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2})$