圆的度量

到这里为止，圆周长和面积都还只是背下来的公式。这一章要回答更难的问题：圆的周长和直径到底成什么比例？$\pi$ 是否真的与圆的大小无关？起点是测量——细绳量周长、直尺量直径，几个小组得到 3.12、3.15、3.14、3.13，猜想 $\frac{C}{d}$ 是与圆无关的常数。

“相似的思想”第一次解释了为什么 $\pi$ 通用：任意两个圆都相似，放大 $k$ 倍时周长与直径同步放大，比值不变。接下来是证明——内接正 $n$ 边形周长 $2nr\sin\frac{\pi}{n}$ 与外切正 $n$ 边形周长 $2nr\tan\frac{\pi}{n}$ 从上下两面把圆夹住，$n \to \infty$ 时同时趋于 $2\pi r$，由夹逼定理得 $C = 2\pi r$；面积同理，内接 $\frac{nr^2}{2}\sin\frac{2\pi}{n}$ 与外切 $nr^2\tan\frac{\pi}{n}$ 夹逼出 $S = \pi r^2$。

切割拼接能给出同一个答案，却留下一个漏洞：无穷多个小误差真的能完全抵消？这一章承认这一点，并说明严格的修补要等到后面用极限与积分完成。弧长公式 $l = \theta r$ 也在此出现，它要求角度用弧度度量——这正是下一阶段要换掉角度制的理由。

学完这一章，你能说清 $\pi$ 的几何含义，用正多边形从两侧夹逼出周长和面积的精确公式，也能解释为什么 $C = 2\pi r$ 与 $S = \pi r^2$ 用的是同一个 $\pi$。