矩阵与线性变换

问题提出

“同学们，今天我们要学习一个非常重要的数学概念——线性变换。“我站在呼噜星球的黑板上，写下了两个关键术语。

“呼噜呼噜？“小绿人歪着头，“线性变换是什么？听起来很复杂的样子。”

“别担心，“我微笑着说，“线性变换其实描述的是一种保持基本运算规则的变换。让我们从最直观的例子开始。”

我画了一个坐标系，并在其中画了一个正方形：

graph LR
    A[正方形] --> B[变换后]
    B --> C[可能变为长方形]
    B --> D[可能旋转]
    B --> E[可能拉伸]

“看，这个正方形经过各种变换后，形状发生了变化。但有些变换具有特殊的性质——它们保持向量的加法和数乘运算。”

💡 核心概念：线性变换是一种特殊的变换，它满足两个基本性质：

保持加法： $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$
保持数乘： $T(c\mathbf{v}) = cT(\mathbf{v})$

“呼噜呼噜！“小蓝人举手，“为什么要学习线性变换？有什么实际用途吗？”

“问得好！“我点头，“线性变换在计算机图形学、物理、经济学等领域都有广泛应用。比如，游戏中的3D图形变换，机器人运动规划，甚至量子力学中的态演化，都用到了线性变换。”

观察与猜想

“让我们先来看几个具体的例子，感受什么是线性变换。”

一个变换 $T$ 是线性的，如果它：

保持向量的加法运算
保持向量的数乘运算

“第一个例子：平面上的旋转变换。”

我画了一个向量 $\mathbf{v} = (x, y)$ ，然后旋转 $\theta$ 角得到新的向量 $\mathbf{v}' = (x', y')$ 。

“旋转变换可以用公式表示为：

\begin{cases} x' = x\cos\theta - y\sin\theta\\ y' = x\sin\theta + y\cos\theta \end{cases}

”

✅ 验证线性性质：对于任意向量 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 和标量 $c$ ：

$T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$
$T(c\mathbf{v}) = cT(\mathbf{v})$

“第二个例子：平面上的缩放变换。”

“如果我们把每个向量都放大2倍，变换公式就是： $T(x, y) = (2x, 2y)$ ”

对于任意 $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in \mathbb{R}^2$ 和标量 $c$ ：

\begin{align} T((x_1, y_1) + (x_2, y_2)) &= T(x_1+x_2, y_1+y_2)\\ &= (2(x_1+x_2), 2(y_1+y_2))\\ &= (2x_1+2x_2, 2y_1+2y_2)\\ &= (2x_1, 2y_1) + (2x_2, 2y_2)\\ &= T(x_1, y_1) + T(x_2, y_2) \end{align}

“第三个例子：平面上的剪切变换。”

“剪切变换会让图形沿某个方向’滑动’，比如： $T(x, y) = (x + y, y)$ ”

⚠️ 注意：不是所有变换都是线性的！比如平移变换 $T(x, y) = (x + 1, y + 1)$ 就不是线性的，因为它不保持向量加法： $T((0, 0) + (1, 1)) = T(1, 1) = (2, 2)$ 但 $T(0, 0) + T(1, 1) = (1, 1) + (2, 2) = (3, 3)$ 两者不相等，所以平移不是线性变换。

“现在让我们来看看这些变换有什么共同特征。”

我写下了几个线性变换的矩阵表示：

旋转变换：

T_{\text{rot}}(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\mathbf{x}

缩放变换：

T_{\text{scale}}(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\mathbf{x}

剪切变换：

T_{\text{shear}}(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{x}

对于 $n$ 维空间中的线性变换 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ ，存在一个 $m \times n$ 矩阵 $A$ ，使得： $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ 其中 $A$ 被称为变换 $T$ 的标准矩阵。

“呼噜呼噜！“小红人兴奋地说，“我发现所有线性变换都能用矩阵表示！”

“完全正确！“我赞赏地说，“这就是线性变换最优美的地方——每个线性变换都对应一个矩阵，每个矩阵都对应一个线性变换。”

严格证明

“现在我们来严格证明这个重要结论。”

设 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 是一个变换。如果对于任意 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ 和标量 $c$ ，都满足：

加法保持： $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$
数乘保持： $T(c\mathbf{v}) = cT(\mathbf{v})$

则称 $T$ 为线性变换。

“我们的目标是证明：每个线性变换 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 都存在唯一的 $m \times n$ 矩阵 $A$ ，使得 $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ 对所有 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ 成立。”

在 $\mathbb{R}^n$ 中，标准向量 $\mathbf{e}_i$ 是指第 $i$ 个分量为1，其余分量为0的向量，即： $\mathbf{e}_i = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0)^T$ 其中第 $i$ 个位置为1。

“证明分为两步：存在性和唯一性。”

存在性证明

设 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 是一个线性变换。

第一步：计算 $T$ 在标准向量 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n$ 上的值： $\mathbf{a}_j = T(\mathbf{e}_j), \quad j = 1, 2, \ldots, n$

其中每个 $\mathbf{a}_j \in \mathbb{R}^m$ 是一个列向量。

第二步：构造矩阵 $A = [\mathbf{a}_1 \ \mathbf{a}_2 \ \cdots \ \mathbf{a}_n]$ ，即把 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n$ 作为 $A$ 的列向量。

第三步：证明对于任意 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T \in \mathbb{R}^n$ ，都有 $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ 。

因为 $\mathbf{x} = x_1\mathbf{e}_1 + x_2\mathbf{e}_2 + \cdots + x_n\mathbf{e}_n$ ，由 $T$ 的线性性：

\begin{align} T(\mathbf{x}) &= T(x_1\mathbf{e}_1 + x_2\mathbf{e}_2 + \cdots + x_n\mathbf{e}_n)\\ &= x_1T(\mathbf{e}_1) + x_2T(\mathbf{e}_2) + \cdots + x_nT(\mathbf{e}_n)\\ &= x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + \cdots + x_n\mathbf{a}_n\\ &= A\mathbf{x} \end{align}

证毕。

唯一性证明

假设存在另一个 $m \times n$ 矩阵 $B$ ，使得 $T(\mathbf{x}) = B\mathbf{x}$ 对所有 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ 成立。

那么对于每个标准向量 $\mathbf{e}_j$ ，有： $\mathbf{a}_j = T(\mathbf{e}_j) = B\mathbf{e}_j$

但 $B\mathbf{e}_j$ 就是矩阵 $B$ 的第 $j$ 列向量，所以 $B$ 的第 $j$ 列等于 $\mathbf{a}_j$ 。

因此 $B = [\mathbf{a}_1 \ \mathbf{a}_2 \ \cdots \ \mathbf{a}_n] = A$ 。

证毕。

🎯 重要结论：线性变换与矩阵是一一对应的！每个线性变换都唯一确定一个矩阵，每个矩阵都唯一确定一个线性变换。

“现在我们来看几个具体的矩阵变换。”

2×2矩阵与平面变换

最常见的线性变换是 $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 的变换，对应 $2 \times 2$ 矩阵。

一个 $2 \times 2$ 矩阵的一般形式为：

A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}

它对应的线性变换为： $T_A(x, y) = (ax + by, cx + dy)$

“让我们来看看几种基本的2×2矩阵变换：”

1. 单位矩阵：

I = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

对应的变换 $T_I(x, y) = (x, y)$ 是恒等变换，保持向量不变。

2. 对角矩阵：

D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}

对应的变换 $T_D(x, y) = (\lambda_1x, \lambda_2y)$ 是缩放变换。

如果 $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$ ，则是等比例缩放。

3. 旋转矩阵：

R_{\theta} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

对应的变换是旋转 $\theta$ 角。

4. 剪切矩阵：

S = \begin{pmatrix} 1 & k\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

对应的变换 $T_S(x, y) = (x + ky, y)$ 是水平剪切。

S = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ k & 1 \end{pmatrix}

对应的变换 $T_S(x, y) = (x, kx + y)$ 是垂直剪切。

设 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 和 $S: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 都是线性变换，则：

线性组合： $aT + bS$ 也是线性变换
复合变换： $T \circ S$ （如果定义域匹配）是线性变换
零变换： $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
变换相加： $(T + S)(\mathbf{x}) = T(\mathbf{x}) + S(\mathbf{x})$
标量乘法： $(cT)(\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x})$

“呼噜呼噜！“小绿人问，“线性变换的组合和复合有什么区别？”

“好问题！“我解释道：

线性组合： $(aT + bS)(\mathbf{x}) = aT(\mathbf{x}) + bS(\mathbf{x})$
复合变换： $(T \circ S)(\mathbf{x}) = T(S(\mathbf{x}))$

矩阵表示对应为：

线性组合： $aA + bB$
复合变换： $AB$

“现在我们来学习单位矩阵和恒等变换。”

$n \times n$ 单位矩阵：

I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}

对应的线性变换 $T_{I_n}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 定义为： $T_{I_n}(\mathbf{x}) = I_n\mathbf{x} = \mathbf{x}$ 这被称为恒等变换，保持向量不变。

“单位矩阵有一些非常重要的性质：”

性质1：对于任何 $n \times m$ 矩阵 $A$ ，都有 $I_mA = AI_n = A$ 。

性质2：恒等变换是线性变换，因为：

$T_I(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \mathbf{u} + \mathbf{v} = T_I(\mathbf{u}) + T_I(\mathbf{v})$
$T_I(c\mathbf{v}) = c\mathbf{v} = cT_I(\mathbf{v})$

性质3：恒等变换的逆变换是它本身。

结论与应用

“现在让我们通过几个例题来巩固所学知识。”

例题1：判断变换是否为线性变换

问题：判断以下变换是否为线性变换： $T(x, y) = (2x + y, x - 3y)$

解答：

根据线性变换的定义，我们需要验证：

加法保持：

\begin{align} T((x_1, y_1) + (x_2, y_2)) &= T(x_1 + x_2, y_1 + y_2)\\ &= (2(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2), (x_1 + x_2) - 3(y_1 + y_2))\\ &= (2x_1 + 2x_2 + y_1 + y_2, x_1 + x_2 - 3y_1 - 3y_2)\\ &= (2x_1 + y_1 + 2x_2 + y_2, x_1 - 3y_1 + x_2 - 3y_2)\\ &= (2x_1 + y_1, x_1 - 3y_1) + (2x_2 + y_2, x_2 - 3y_2)\\ &= T(x_1, y_1) + T(x_2, y_2) \end{align}

数乘保持：

\begin{align} T(c(x, y)) &= T(cx, cy)\\ &= (2(cx) + cy, cx - 3(cy))\\ &= (c(2x + y), c(x - 3y))\\ &= c(2x + y, x - 3y)\\ &= cT(x, y) \end{align}

因为两个性质都满足，所以 $T$ 是线性变换。

矩阵表示：

T(x, y) = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

例题2：求线性变换的矩阵表示

问题：求线性变换 $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ 的矩阵表示，其中： $T(x, y) = (x + 2y, 3x - y, 2x + 4y)$

解答：

第一步：计算 $T$ 在标准向量上的值：

\begin{align} T(1, 0) &= (1 + 2 \times 0, 3 \times 1 - 0, 2 \times 1 + 4 \times 0) = (1, 3, 2)\\ T(0, 1) &= (0 + 2 \times 1, 3 \times 0 - 1, 2 \times 0 + 4 \times 1) = (2, -1, 4) \end{align}

第二步：构造矩阵 $A$ ，把 $T(1, 0)$ 和 $T(0, 1)$ 作为列向量：

A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & -1\\ 2 & 4 \end{pmatrix}

第三步：验证：

A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot x + 2 \cdot y\\ 3 \cdot x - 1 \cdot y\\ 2 \cdot x + 4 \cdot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 2y \\ 3x - y \\ 2x + 4y \end{pmatrix} = T(x, y)

验证正确。

例题3：利用线性变换求解

问题：设 $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 是线性变换，已知： $T(1, 2) = (3, 1), \quad T(2, 1) = (1, 4)$ 求 $T(3, 4)$ 。

解答：

第一步：找到向量 $(3, 4)$ 用 $(1, 2)$ 和 $(2, 1)$ 的线性表示。

设 $(3, 4) = a(1, 2) + b(2, 1)$ ，则：

\begin{cases} a + 2b = 3\\ 2a + b = 4 \end{cases}

解得： $a = 2$ , $b = 0.5$

第二步：利用 $T$ 的线性性：

\begin{align} T(3, 4) &= T(2(1, 2) + 0.5(2, 1))\\ &= 2T(1, 2) + 0.5T(2, 1)\\ &= 2(3, 1) + 0.5(1, 4)\\ &= (6, 2) + (0.5, 2)\\ &= (6.5, 4) \end{align}

例题4：复合变换的矩阵

问题：设 $T, S: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 都是线性变换，其矩阵表示分别为： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$