圆的标准方程与一般方程

问题提出

走进教室时，我看到阿普正趴在桌子上，面前铺着好几张写满方程的草稿纸。旁边的贝塔也在奋笔疾书，时不时抓耳挠腮。

阿普，你们在忙什么？

阿普抬起头，一脸困惑：

老师！上节课学了圆的标准方程 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ ，我好不容易学会了——看到方程就能读出圆心和半径。但是我在一本数学书上看到了一个方程： $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$ 。它长得完全不像标准方程的样子！这也能表示圆吗？

贝塔也凑过来说：

我也看到了类似的题目——给一个方程，要判断它是不是圆，再求圆心和半径。可是 $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$ 里面全是减号加号，我怎么看出圆心和半径？

伽玛走过来补充道：

我反过来想——如果我们把标准方程 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 完全展开，会得到什么？展开之后还认得出来吗？

我欣慰地笑了：

太好了！你们已经开始自主提问了，这正是数学学习最重要的能力。今天，我们就来系统研究圆的方程的两种形式——标准方程和一般方程，以及它们之间的转换。

我在黑板上写下今天要探索的核心问题：

问题 1：将标准方程 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 完全展开，会得到什么形式？
问题 2：形如 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的方程，在什么条件下表示圆？
问题 3：如何用配方法将一般方程还原为标准方程，读出圆心和半径？

咕噜小声嘟囔：

配方法……上次提了一嘴，今天终于要正式学了。

观察与猜想

第一步：展开标准方程

让我们先做一件事——把标准方程完全展开，看看会发生什么。

我在黑板上写下一个具体例子：

比如标准方程 $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$ 。大家来展开。

阿普开始计算：

$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$

贝塔接上：

$(y + 2)^2 = y^2 + 4y + 4$

伽玛把它们合在一起：

$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 16$

化简：

$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 = 16$

$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$

阿普瞪大了眼睛：

等等！这不就是我刚才在书上看到的那个方程吗！原来它是从 $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$ 展开来的！

没错。所以这个方程确实表示一个圆——圆心 $(3, -2)$ ，半径 $4$ 。只不过展开之后，圆心和半径”隐藏”起来了。

第二步：展开一般的标准方程

让我们把展开过程一般化。

展开过程

从标准方程出发：

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

展开两个完全平方：

$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2$

将所有项移到等号左边：

$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0$

我指着最终结果说：

注意看这个方程的结构。它有哪些特点？

贝塔仔细观察后说：

$x^2$ 和 $y^2$ 的系数都是 $1$ ——这没错，因为它们都来自完全平方展开式的首项。

阿普补充：

还有 $x$ 的一次项、 $y$ 的一次项，以及一个常数项。而且 $x$ 的系数是 $-2a$ ， $y$ 的系数是 $-2b$ ——都跟圆心坐标有关。

伽玛总结：

所以，如果令 $D = -2a$ ， $E = -2b$ ， $F = a^2 + b^2 - r^2$ ，方程就变成了 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 。

我赞许地点头：

非常好！你们自己发现了圆的一般方程。

第三步：一个关键问题

但是——

我故意停顿了一下，环顾教室。

阿普刚才说， $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$ 表示一个圆。但我要问：是不是所有形如 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的方程都表示圆？

教室安静了几秒。

咕噜试探性地说：

应该……不是吧？如果 $F$ 特别大，比如 $x^2 + y^2 + 1 = 0$ ，那 $x^2 + y^2 = -1$ ，没有任何实数点满足……

好例子！所以我们需要一个条件来判断。这个条件是什么呢？

阿普说：

我猜——从方程右边那个 $r^2$ 来的。因为 $r^2$ 必须大于 $0$ （半径必须是正数），所以展开后，对应的那个”常数部分”必须满足某种不等式。

聪明的猜想！让我们严格证明它。

严格证明

从一般方程到标准方程——配方法

要判断一般方程表示什么图形，最直接的方法是——把它变回标准方程。而变回去的核心工具，就是配方法。

配方法回顾

对二次式 $x^2 + px$ 配方：

$x^2 + px = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \frac{p^2}{4}$

关键：加上并减去 $\left(\dfrac{p}{2}\right)^2$ ，构造出完全平方。

让我们对一般方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 进行配方。

对 $x$ 配方：

$x^2 + Dx = \left(x + \frac{D}{2}\right)^2 - \frac{D^2}{4}$

对 $y$ 配方：

$y^2 + Ey = \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 - \frac{E^2}{4}$

代入原方程：

$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 - \frac{D^2}{4} + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 - \frac{E^2}{4} + F = 0$

移项整理：

$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F$

通分右边：

$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$

我指着最终结果说：

现在，这个方程已经是标准方程的形式了。左边是两个完全平方的和，右边是一个常数。关键在于——右边是正数、零还是负数？

一般方程表示圆的条件

贝塔说：

如果右边是正数，它就是 $r^2$ ，表示一个圆！

阿普接上：

如果右边是零，方程就是 $\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = 0$ ，只有 $x = -\frac{D}{2}$ 、 $y = -\frac{E}{2}$ 满足——也就是一个点！

伽玛补完：

如果右边是负数，没有任何实数解，因为两个完全平方的和不可能等于负数。所以不表示任何图形。

定理（圆的一般方程表示圆的条件）

方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的配方可化为：

$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$

令 $\Delta = D^2 + E^2 - 4F$ 。

当 $\Delta > 0$ 时，方程表示一个圆，圆心 $\left(-\dfrac{D}{2},\, -\dfrac{E}{2}\right)$ ，半径 $r = \dfrac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$
当 $\Delta = 0$ 时，方程表示一个点 $\left(-\dfrac{D}{2},\, -\dfrac{E}{2}\right)$ （称为”点圆”）
当 $\Delta < 0$ 时，方程不表示任何图形（称为”虚圆”）

因此，一般方程表示圆的充要条件是： $D^2 + E^2 - 4F > 0$ 。

咕噜举手：

老师，“点圆”和”虚圆”是正式的数学术语吗？

这些是形象的叫法。“点圆”可以理解为一个半径为 $0$ 的”退化圆”——圆收缩成了一个点。“虚圆”则意味着方程在实数范围内无解，不存在满足条件的点。

从一般方程读出圆心和半径

现在，让我们总结两种方程形式的对应关系。

标准方程与一般方程的对应关系

	标准方程	一般方程
形式	$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$	$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$
圆心	$(a,\, b)$	$\left(-\dfrac{D}{2},\, -\dfrac{E}{2}\right)$
半径	$r$	$\dfrac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$
表示圆的条件	$r > 0$	$D^2 + E^2 - 4F > 0$
转换关系	$D = -2a,\; E = -2b,\; F = a^2 + b^2 - r^2$	$a = -\dfrac{D}{2},\; b = -\dfrac{E}{2},\; r^2 = \dfrac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$

贝塔盯着表格说：

我发现一个规律——一般方程里圆心的坐标是 $\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$ ，就是 $x$ 系数的一半取负、 $y$ 系数的一半取负！

阿普补充：

这跟标准方程里的规律是一致的——标准方程里是 $x - a$ ，一般方程里展开后 $x$ 的系数就是 $-2a$ ，所以 $a = -\frac{D}{2}$ 。负负得正，负正得负，都是配方的结果。

完全正确。不过——我强烈建议你们不要死记硬背这个对应表。掌握配方法，随时可以从一般方程配方回标准方程，比记忆公式可靠得多。

例题一：将一般方程化为标准方程

让我们通过例题来实战。

例题 1：判断方程 $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$ 是否表示圆。如果是，求圆心和半径。

解：

用配方法将方程化为标准形式。

对 $x$ 配方： $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$

对 $y$ 配方： $y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$

代入原方程：

$(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 - 3 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$

因为右边 $= 16 > 0$ ，所以方程表示一个圆。

圆心 $(3, -2)$ ，半径 $r = 4$ 。

其实这正是我们一开始展开的那个例子——现在你们看到了完整的来回转换。

例题二：用判别式快速判断

例题 2：判断下列方程是否表示圆。

（1） $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0$

（2） $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 0$

（3） $x^2 + y^2 + 6x - 2y + 11 = 0$

解：

利用判别式 $\Delta = D^2 + E^2 - 4F$ 判断。

（1） $D = 2,\; E = -4,\; F = 1$

$\Delta = 4 + 16 - 4 = 16 > 0$

表示一个圆。

配方验证：

$x^2 + 2x + y^2 - 4y = -1$

$(x + 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 = -1$

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

圆心 $(-1, 2)$ ，半径 $r = 2$ 。 ✓

（2） $D = -4,\; E = 6,\; F = 13$

$\Delta = 16 + 36 - 52 = 0$

$\Delta = 0$ ，方程表示一个点。

配方验证：

$x^2 - 4x + y^2 + 6y = -13$

$(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = -13$

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 0$

仅当 $x = 2,\; y = -3$ 时成立，表示点 $(2, -3)$ 。 ✓

（3） $D = 6,\; E = -2,\; F = 11$

$\Delta = 36 + 4 - 44 = -4 < 0$

$\Delta < 0$ ，方程不表示任何图形。 ✓

阿普说：

例题 2 的第（1）小题好直接——算一下 $\Delta$ 就知道是不是圆了！

没错。但记住，如果题目还要求圆心和半径，你就必须配方。所以配方法是根本，判别式是快捷工具。

例题三：已知圆心和半径，写出一般方程

例题 3：写出以 $(-2, 3)$ 为圆心、半径 $r = 5$ 的圆的一般方程。

解：

先写标准方程：

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$

展开：

$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 25$

整理为一般形式：

$x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0$

验证： $D = 4,\; E = -6,\; F = -12$

$\Delta = 16 + 36 - 4 \times (-12) = 16 + 36 + 48 = 100 > 0$

圆心应为 $\left(-\frac{4}{2}, -\frac{-6}{2}\right) = (-2, 3)$ ✓

半径应为 $\frac{\sqrt{100}}{2} = 5$ ✓

例题四：求过三点的圆

上节课我们做过类似的题。现在用一般方程的方法重新做，比较一下。

例题 4：求过三点 $A(1, 0)$ 、 $B(2, 1)$ 、 $C(0, 1)$ 的圆的方程。

解：

设圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 。

代入 $A(1, 0)$ ：

$1 + 0 + D + 0 + F = 0 \implies D + F = -1 \quad \cdots (1)$

代入 $B(2, 1)$ ：

$4 + 1 + 2D + E + F = 0 \implies 2D + E + F = -5 \quad \cdots (2)$

代入 $C(0, 1)$ ：

$0 + 1 + 0 + E + F = 0 \implies E + F = -1 \quad \cdots (3)$

解方程组：

由 (1)： $F = -1 - D$

由 (3)： $E = -1 - F = -1 - (-1 - D) = D$

把 $E = D$ 和 $F = -1 - D$ 代入 (2)：

$2D + D + (-1 - D) = -5$

$2D - 1 = -5$

$2D = -4$

$D = -2$

所以 $E = -2$ ， $F = -1 - (-2) = 1$ 。

圆的方程为：

$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$

配方验证：

$(x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 + 1 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$

圆心 $(1, 1)$ ，半径 $r = 1$ 。

检验：

代入 $A(1, 0)$ ： $(1 - 1)^2 + (0 - 1)^2 = 0 + 1 = 1$ ✓

代入 $B(2, 1)$ ： $(2 - 1)^2 + (1 - 1)^2 = 1 + 0 = 1$ ✓

代入 $C(0, 1)$ ： $(0 - 1)^2 + (1 - 1)^2 = 1 + 0 = 1$ ✓

伽玛对比了一下上节课的方法，说：

上节课设标准方程 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ ，代三个点得到关于 $a$ 、 $b$ 、 $r$ 的方程组。这次设一般方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ ，代三个点得到关于 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 的方程组。

两种方法都可以。但用一般方程的好处是——代进去之后，方程是线性的（一次方程），解起来更方便。

阿普恍然大悟：

对啊！上节课代标准方程后出现了 $a^2$ 、 $b^2$ ，是二次方程组，解起来要费点功夫。而一般方程代进去全是 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 的一次项，解线性方程组简单多了！

正是。这就是一般方程的一个实用优势——代入点坐标后，得到的是线性方程组，更容易求解。

例题五：轨迹方程问题

再看一个稍复杂的应用。

例题 5：已知点 $A(3, 2)$ ，求到点 $A$ 的距离等于到原点 $O(0, 0)$ 的距离的 2 倍的动点 $P(x, y)$ 的轨迹方程，并判断轨迹是什么图形。

解：

第一步：翻译条件

$|PA| = 2|PO|$

第二步：用坐标表示

$\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 2)^2} = 2\sqrt{x^2 + y^2}$

第三步：两边平方

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 4(x^2 + y^2)$

第四步：展开化简

$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4 = 4x^2 + 4y^2$

$-3x^2 - 3y^2 - 6x - 4y + 13 = 0$

两边除以 $-3$ ：

$x^2 + y^2 + 2x + \frac{4}{3}y - \frac{13}{3} = 0$

第五步：配方

$\left(x + 1\right)^2 - 1 + \left(y + \frac{2}{3}\right)^2 - \frac{4}{9} - \frac{13}{3} = 0$

$\left(x + 1\right)^2 + \left(y + \frac{2}{3}\right)^2 = 1 + \frac{4}{9} + \frac{13}{3}$

$\left(x + 1\right)^2 + \left(y + \frac{2}{3}\right)^2 = \frac{9 + 4 + 39}{9} = \frac{52}{9}$

因为 $\dfrac{52}{9} > 0$ ，轨迹是一个圆。

圆心 $\left(-1, -\dfrac{2}{3}\right)$ ，半径 $r = \dfrac{2\sqrt{13}}{3}$ 。

咕噜看完过程，赞叹道：

本来以为”到两点的距离有倍数关系”这种条件会描述出什么奇怪图形，结果配方之后发现——它就是圆！

这是圆的一个有趣性质。事实上，到两定点距离之比为常数（不等于 1）的轨迹，一定是圆。这个圆叫做阿波罗尼奥斯圆，以古希腊数学家阿波罗尼奥斯的名字命名。

深入讨论：为什么一般方程没有 $xy$ 项？

让我们回到一般方程的形式： $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 。

我问你们一个问题：为什么没有 $xy$ 项？

阿普想了想：

因为标准方程 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 展开时， $(x - a)^2$ 只有 $x^2$ 、 $x$ 和常数项， $(y - b)^2$ 只有 $y^2$ 、 $y$ 和常数项。两个括号是加在一起，不会产生 $xy$ 交叉项。

从更深的几何角度来看——圆是一个各向同性的图形，它在各个方向上都是对称的。标准方程中 $x$ 和 $y$ 的地位完全平等，展开后自然不会产生 $x$ 和 $y$ 的”交叉”。如果一个方程含有 $xy$ 项，它表示的图形可能在某个方向上被”拉伸”或”倾斜”——那就不是圆了，而是椭圆或其他圆锥曲线。

圆的一般方程的结构特征

二元二次方程的一般形式为：

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$

要表示圆，必须满足：

$A = C \neq 0$ （ $x^2$ 和 $y^2$ 系数相等且不为零）
$B = 0$ （没有 $xy$ 交叉项）
$D^2 + E^2 - 4AF > 0$ （判别式大于零）

条件 1 和条件 2 决定了方程的”形状像圆”，条件 3 保证它确实存在（不是虚圆）。

结论与应用

核心结论

我把今天最重要的结论整理在黑板上：

本节核心结论

圆的标准方程：

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

优点：圆心 $(a, b)$ 和半径 $r$ 一目了然。

圆的一般方程：

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

其中 $D = -2a$ ， $E = -2b$ ， $F = a^2 + b^2 - r^2$ 。

一般方程表示圆的条件：

$D^2 + E^2 - 4F > 0$

此时圆心为 $\left(-\dfrac{D}{2},\, -\dfrac{E}{2}\right)$ ，半径为 $\dfrac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$ 。

配方法是两种形式之间转换的核心工具：
- 标准方程 → 展开 → 一般方程
- 一般方程 → 配方 → 标准方程
两种形式的选择：
- 需要读圆心和半径 → 用标准方程
- 需要代入点坐标解方程组 → 用一般方程（线性方程组更容易解）

应用一：判断方程是否表示圆

有了判别式，我们可以快速判断一个方程是否表示圆。

应用：方程 $x^2 + y^2 - 4x + 2y + k = 0$ 表示圆，求 $k$ 的取值范围。

解：

这里 $D = -4$ ， $E = 2$ ， $F = k$ 。

判别式：

$\Delta = D^2 + E^2 - 4F = 16 + 4 - 4k = 20 - 4k$

要表示圆，需要 $\Delta > 0$ ：

$20 - 4k > 0$

$k < 5$

当 $k < 5$ 时，方程表示圆；

当 $k = 5$ 时，方程表示点 $(2, -1)$ ；

当 $k > 5$ 时，方程不表示任何图形。

特殊值验证：

取 $k = 0$ ： $x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0$

配方： $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5$

圆心 $(2, -1)$ ，半径 $\sqrt{5}$ 。 ✓

取 $k = 5$ ： $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 5 = 0$

配方： $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 0$

表示点 $(2, -1)$ 。 ✓

应用二：参数变化时圆的变化

应用：方程 $x^2 + y^2 - 2ax + 4y + a^2 - 5 = 0$ （ $a$ 为参数），讨论 $a$ 取不同值时方程表示什么图形。

解：

配方：

$(x - a)^2 - a^2 + (y + 2)^2 - 4 + a^2 - 5 = 0$

$(x - a)^2 + (y + 2)^2 = 9$

无论 $a$ 取什么值，方程始终表示圆。

圆心 $(a, -2)$ （在直线 $y = -2$ 上移动），半径恒为 $3$ 。

几何解释：当参数 $a$ 变化时，圆心沿着水平直线 $y = -2$ 左右平移，但半径始终不变。这是一个”等半径平移圆族”。

伽玛若有所思：

这个结果很漂亮——参数藏在圆心的横坐标里，但不影响半径。一组”移动的圆”组成了一个家族！

应用三：圆的交点问题

应用：求两圆 $C_1: x^2 + y^2 = 4$ 和 $C_2: x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$ 的交点。

解：

设交点 $(x, y)$ 同时满足两个方程。

用相减法消去二次项——用 $C_2$ 减去 $C_1$ ：

$(x^2 + y^2 - 2x - 2y) - (x^2 + y^2 - 4) = 0$

$-2x - 2y + 4 = 0$

$x + y = 2$

所以交点在直线 $x + y = 2$ 上。

将 $y = 2 - x$ 代入 $C_1$ ：

$x^2 + (2 - x)^2 = 4$

$x^2 + 4 - 4x + x^2 = 4$

$2x^2 - 4x = 0$

$2x(x - 2) = 0$

$x = 0 \quad \text{或} \quad x = 2$

对应交点： $(0, 2)$ 和 $(2, 0)$ 。

验证：

$(0, 2)$ 代入 $C_1$ ： $0 + 4 = 4$ ✓；代入 $C_2$ ： $0 + 4 - 0 - 4 = 0$ ✓

$(2, 0)$ 代入 $C_1$ ： $4 + 0 = 4$ ✓；代入 $C_2$ ： $4 + 0 - 4 - 0 = 0$ ✓

几何理解：两圆的交点一定在它们的”公共弦”上，而公共弦所在的直线恰好可以用两个方程相减得到。这是一般方程带来的一个优美技巧。

阿普兴奋地说：

两个圆的方程相减，二次项全消掉了，变成了一条直线方程！这个技巧太巧妙了！

这不是巧合——因为两个圆方程中 $x^2$ 和 $y^2$ 的系数相同（都是 1），相减后二次项必然消去，只剩一次方程——一条直线。这条直线叫做两圆的根轴（也叫等幂轴），是圆族理论中的重要概念。

呼噜星人的收获

下课铃响了。学生们三三两两讨论着，但几分钟后又围到讲台前。

阿普说：

今天我明白了——圆的方程有两个”面孔”。标准方程 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 是”素颜”状态，圆心和半径一眼就看出来；一般方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 是”化了妆”的状态，需要用配方法才能看到真面目。但不管哪种面孔，描述的都是同一个圆。

贝塔说：

我最大的收获是配方法。以前学二次函数的时候用过 $y = ax^2 + bx + c$ 配方成顶点式，现在在圆的方程里又用上了。配方的本质就是——把”散落”的一次项”收拢”到完全平方里，让隐藏的圆心和半径现出原形。

伽玛说：

我最感兴趣的是判别式 $D^2 + E^2 - 4F$ 。三个符号就能判定一个方程是圆、是一个点、还是什么都不是。这种”一眼判断”的感觉很爽。不过老师说得对——判别式是快捷工具，配方法才是根本。

咕噜想了想说：

我印象最深的是应用三——两个圆的方程相减就得到了公共弦的直线方程。两个”弯弯的”方程相减，变成了一个”直直的”方程，二次降为一次，这个降维的感觉特别美妙。

我笑着在黑板上写下今天的最后一句话：

圆有两个名字：标准方程是它的”名片”，一眼就能认出；一般方程是它的”化名”，需要配方法来揭示真身。掌握两种形式的互相转换，就掌握了圆的代数描述的全部密码。

学生们带着满足的笑容离开了教室。今天，他们不仅学会了两种方程形式和它们的转换方法，更重要的是体会到了一个深刻的数学思想——同一个数学对象可以有不同的表示形式，选择合适的形式是解决问题的关键。这个思想将在他们未来的数学学习中反复出现。

下节课：直线与圆的位置关系。

上一章节圆的方程如何用代数方法描述圆？

下一章节圆的参数方程如何用参数表示圆上的点？参数有什么几何意义？

圆的标准方程与一般方程

问题提出

观察与猜想

第一步：展开标准方程

第二步：展开一般的标准方程

第三步：一个关键问题

严格证明

从一般方程到标准方程——配方法

一般方程表示圆的条件

从一般方程读出圆心和半径

例题一：将一般方程化为标准方程

例题二：用判别式快速判断

例题三：已知圆心和半径，写出一般方程

例题四：求过三点的圆

例题五：轨迹方程问题

深入讨论：为什么一般方程没有 xyxyxy 项？

结论与应用

核心结论

应用一：判断方程是否表示圆

应用二：参数变化时圆的变化

应用三：圆的交点问题

呼噜星人的收获

深入讨论：为什么一般方程没有 $xy$ 项？