圆的微分学

“切线垂直于半径”在初等几何里一直被当作事实，而微分学要追问：凭什么？切线究竟是什么？答案不能靠规定，只能靠极限算出来。

从圆的切线入手：固定圆上一点，让另一点沿圆周靠近，割线斜率 $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ 的极限就是导数，也正是切线斜率。有了导数，圆的切线方程得到极简形式：过圆 $x^2+y^2=r^2$ 上一点 $(x_0,y_0)$ 的切线是 $x_0x+y_0y=r^2$；配套的法线方程 $(x_1-h)(x-h)+(y_1-k)(y-k)=r^2$ 则被证明必定经过圆心。

求导方法也在这里配齐：圆写成隐函数时用隐函数求导法则得 $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$，参数方程则用 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$，两种方式在同一个圆上给出完全一致的切线。

工具齐备后，更难的问题才有解：在约束 $x^2+y^2=r^2$ 下 $ax+by$ 的极值点由 $\left(\frac{ar}{\sqrt{a^2+b^2}}, \frac{br}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$ 给出；曲率公式 $\kappa = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$ 作用在圆上恒为 $\frac{1}{r}$，曲率半径正好是 $r$。

学完这一章，你能从极限推出导数的几何意义，写出圆的切线方程与法线方程，用隐函数或参数方程两种方式求切线斜率，并解释为什么圆上每一点的曲率都相同。