圆的几何基础

上一章用“$|OP| = r$”定义了圆，学生立刻反问：凭什么这就是圆？换一个说法能不能描述同一个图形？几何基础这一章正面回答这个问题——它不罗列性质，而是从定义出发把结论一步步证明出来。

第一步是找等价定义：$|PA| = k|PB|$（$k \neq 1$）的轨迹被证明仍是圆，即阿波罗尼奥斯圆，$k = 1$ 时退化为线段 $AB$ 的中垂线；到两定点距离之和为定常数的轨迹是椭圆，焦点重合时椭圆退化为圆——圆原来只是椭圆的一个特例。随后从标准定义证明圆关于任何过圆心的直线对称、绕圆心旋转任意角度与自身重合，因而有无穷多条对称轴。

接着认识圆的结构：半径、直径、弦、弧、圆心角、扇形与弓形，弦心距与弦长的关系 $|AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2}$，“同一圆中直径是最长的弦”。再把圆放进关系网：两圆依圆心距分成外离、外切、相交、内切、内含五种位置；直线与圆按圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$ 分成相离、相切、相交三种。

学完这一章，你能判定任意两圆或直线与圆的位置关系，写出切线方程，用 $\sqrt{|OP|^2 - r^2}$ 求切线长、$2\sqrt{r^2 - d^2}$ 求弦长，也明白圆的这些结论为何大多能还原为三角形全等与勾股定理。