圆的积分学

面积的初等证明停在“锯齿会消失”这句直觉上，而“周长是无数段微小弧长之和”更是从来没人说清楚过。这一章换上真正能处理无穷的工具：定积分。

先从定义开始：分割区间、取黎曼和、令最大小区间长度趋于零，若极限存在就称函数可积，定积分就是这个极限。黎曼可积定理保证连续函数一定可积，于是上半圆 $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ 成为第一个够格被积分的对象。配上牛顿-莱布尼茨公式与三角换元 $x = r\sin\theta$，面积公式第一次被完整地算出来，而不是拼出来的。

同一个积分工具立刻处理更多量：弧长公式 $L = \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}dx$ 及其参数形式 $L = \int_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt$，代入圆的参数方程就回到 $C = 2\pi r$；扇形面积由极坐标下的面积元 $dA = r\,dr\,d\theta$ 积分得到 $S = \frac{1}{2}r^2\theta$。

把圆绕轴转起来，三维量也能积分：球体体积 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$、圆锥体积 $V = \frac{1}{3}\pi r^2h$、圆环体体积，以及球面、圆锥面、圆环面的表面积公式，依次由旋转体体积与表面积的积分表达式算出。

学完这一章，你能用定积分严格推导圆的面积与弧长，能用极坐标算扇形与圆环区域，能求出球体、圆锥、圆环体的体积与表面积。