全微分的几何意义

详细步骤：

1. $f_x = 2x$，$f_y = 2y$
2. 在 $(1,2)$ 处：$f_x(1,2) = 2$，$f_y(1,2) = 4$
3. 切平面方程：$z - 5 = 2(x-1) + 4(y-2)$，即 $2x + 4y - z - 5 = 0$
4. 法线方程：$\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{4} = \frac{z-5}{-1}$

答案：切平面 $2x+4y-z-5=0$，法线 $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-5}{-1}$

详细步骤：

1. 令 $F(x,y,z) = x^2+y^2+z^2-14$
2. $F_x = 2x$，$F_y = 2y$，$F_z = 2z$
3. 在 $(1,2,3)$ 处：$F_x=2$，$F_y=4$，$F_z=6$
4. 切平面方程：$2(x-1) + 4(y-2) + 6(z-3) = 0$，即 $x + 2y + 3z - 14 = 0$
5. 法线方程：$\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{4} = \frac{z-3}{6}$，即 $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}$

答案：切平面 $x+2y+3z-14=0$，法线 $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}$

详细步骤：

1. 令 $F(x,y,z) = xyz - a^3$，则 $F_x = yz$，$F_y = xz$，$F_z = xy$
2. 设曲面上任一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，满足 $x_0y_0z_0 = a^3$
3. 切平面方程：$y_0z_0(x-x_0) + x_0z_0(y-y_0) + x_0y_0(z-z_0) = 0$
4. 化简：$y_0z_0 x + x_0z_0 y + x_0y_0 z = 3x_0y_0z_0 = 3a^3$
5. 截距式：$\frac{x}{3x_0} + \frac{y}{3y_0} + \frac{z}{3z_0} = 1$
6. 在三个坐标轴上的截距分别为 $3x_0, 3y_0, 3z_0$
7. 四面体体积 $V = \frac{1}{6} \cdot |3x_0| \cdot |3y_0| \cdot |3z_0| = \frac{27}{6}|x_0y_0z_0| = \frac{9}{2}a^3$（常数）

答案：四面体体积为 $\frac{9}{2}a^3$，是常数，与切点位置无关。

详细步骤：

1. $f_x = y$，$f_y = x$
2. 在 $(2,3)$ 处：$f_x(2,3) = 3$，$f_y(2,3) = 2$
3. 切平面：$z - 6 = 3(x-2) + 2(y-3)$，即 $3x + 2y - z - 6 = 0$

答案：切平面方程为 $3x+2y-z-6=0$

详细步骤：

1. 令 $F = \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1$
2. $F_x = \frac{2x}{a^2}$，$F_y = \frac{2y}{b^2}$，$F_z = \frac{2z}{c^2}$
3. 切平面：$\frac{2x_0}{a^2}(x-x_0) + \frac{2y_0}{b^2}(y-y_0) + \frac{2z_0}{c^2}(z-z_0) = 0$
4. 化简：$\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} + \frac{z_0 z}{c^2} = \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2} = 1$

答案：切平面方程为 $\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}+\frac{z_0 z}{c^2}=1$