多元微分学的几何应用

隐函数曲面 $F(x, y, z) = 0$ 在点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 处的切平面方程为：

$F_x(x_0, y_0, z_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + F_z(x_0, y_0, z_0)(z - z_0) = 0$

法线方程为：

$\frac{x - x_0}{F_x(x_0, y_0, z_0)} = \frac{y - y_0}{F_y(x_0, y_0, z_0)} = \frac{z - z_0}{F_z(x_0, y_0, z_0)}$

参数方程 $\begin{cases} x = x(u, v) \\ y = y(u, v) \\ z = z(u, v) \end{cases}$ 定义的曲面在对应点 $(u_0, v_0)$ 处的切平面方程为：

$\begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ x_u & y_u & z_u \\ x_v & y_v & z_v \end{vmatrix} = 0$

曲线在参数 $t_0$ 处的切向量为：

$\vec{r}'(t_0) = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right)_{t=t_0}$

切线方程为：

$\frac{x - x_0}{\frac{dx}{dt}} = \frac{y - y_0}{\frac{dy}{dt}} = \frac{z - z_0}{\frac{dz}{dt}}$

法平面方程为：

$\frac{dx}{dt}(x - x_0) + \frac{dy}{dt}(y - y_0) + \frac{dz}{dt}(z - z_0) = 0$

曲面 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处的法向量为：

$\vec{n} = (-f_x, -f_y, 1)$

法线方程为：

$\frac{x - x_0}{-f_x} = \frac{y - y_0}{-f_y} = \frac{z - z_0}{1}$

$\frac{\partial f}{\partial l} = |\nabla f| \cos\theta$

其中 $\theta$ 是梯度方向与 $\vec{l}$方向的夹角。