快易知
多元函数微分学

空间曲线的切线与法平面

参数方程形式的空间曲线

定理1

设空间曲线 Γ\Gamma 由参数方程给出：

{x=x(t)y=y(t)z=z(t)(α≤t≤β)\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases} \quad (\alpha \leq t \leq \beta)

其中 x(t),y(t),z(t)x(t), y(t), z(t) 均可导，且导数不同时为零。对应于 t=t0t = t_0 的点为 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0)，则曲线在 M0M_0 处的

切向量： T⃗=(x′(t0),y′(t0),z′(t0))\vec{T} = (x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))

切线方程： x−x0x′(t0)=y−y0y′(t0)=z−z0z′(t0)\frac{x - x_0}{x'(t_0)} = \frac{y - y_0}{y'(t_0)} = \frac{z - z_0}{z'(t_0)}

法平面方程（过 M0M_0 且垂直于切线的平面）： x′(t0)(x−x0)+y′(t0)(y−y0)+z′(t0)(z−z0)=0x'(t_0)(x - x_0) + y'(t_0)(y - y_0) + z'(t_0)(z - z_0) = 0

一般方程形式的空间曲线

定理2

设空间曲线 Γ\Gamma 由一般方程（两曲面的交线）给出：

{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}

M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0) 是曲线上一点，且矩阵

(FxFyFzGxGyGz)\begin{pmatrix} F_x & F_y & F_z \\ G_x & G_y & G_z \end{pmatrix}

在 M0M_0 处的秩为2，则曲线在 M0M_0 处的

切向量： T⃗=∇F(M0)×∇G(M0)=∣i⃗j⃗k⃗FxFyFzGxGyGz∣M0\vec{T} = \nabla F(M_0) \times \nabla G(M_0) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ F_x & F_y & F_z \\ G_x & G_y & G_z \end{vmatrix}_{M_0}

即 T⃗=(∂(F,G)∂(y,z),∂(F,G)∂(z,x),∂(F,G)∂(x,y))\vec{T} = \left( \frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}, \frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}, \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)} \right)，其中 ∂(F,G)∂(y,z)=∣FyFzGyGz∣\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)} = \begin{vmatrix} F_y & F_z \\ G_y & G_z \end{vmatrix} 为雅可比行列式。

典型例题

例题1：参数方程曲线的切线

求曲线 x=t,y=t2,z=t3x = t, y = t^2, z = t^3 在点 (1,1,1)(1, 1, 1) 处的切线方程和法平面方程。

参考答案
切线法平面参数方程空间曲线
  1. 点 (1,1,1)(1,1,1) 对应参数 t=1t=1
  2. x′(t)=1,y′(t)=2t,z′(t)=3t2x'(t)=1, y'(t)=2t, z'(t)=3t^2
  3. 在 t=1t=1 处：切向量 T⃗=(1,2,3)\vec{T} = (1, 2, 3)
  4. 切线方程：x−11=y−12=z−13\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{3}
  5. 法平面方程：1(x−1)+2(y−1)+3(z−1)=01(x-1) + 2(y-1) + 3(z-1) = 0，即 x+2y+3z−6=0x + 2y + 3z - 6 = 0

答案：切线 x−11=y−12=z−13\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}，法平面 x+2y+3z−6=0x+2y+3z-6=0

例题2：一般方程曲线的切线

求曲线 {x2+y2+z2=6x+y+z=0\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 6 \\ x + y + z = 0 \end{cases} 在点 (1,−2,1)(1, -2, 1) 处的切线方程和法平面方程。

参考答案
切线法平面一般方程空间曲线叉乘
  1. 令 F=x2+y2+z2−6F = x^2+y^2+z^2-6，G=x+y+zG = x+y+z
  2. ∇F=(2x,2y,2z)\nabla F = (2x, 2y, 2z)，∇G=(1,1,1)\nabla G = (1, 1, 1)
  3. 在 (1,−2,1)(1,-2,1) 处：∇F=(2,−4,2)\nabla F = (2, -4, 2)，∇G=(1,1,1)\nabla G = (1, 1, 1)
  4. 切向量 T⃗=∇F×∇G=∣i⃗j⃗k⃗2−42111∣=(−4−2,2−2,2−(−4))=(−6,0,6)\vec{T} = \nabla F \times \nabla G = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -4 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-4-2, 2-2, 2-(-4)) = (-6, 0, 6)
  5. 可取切向量 (1,0,−1)(1, 0, -1)
  6. 切线方程：x−11=y+20=z−1−1\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{0} = \frac{z-1}{-1}（即 {y=−2x+z=2\begin{cases} y = -2 \\ x + z = 2 \end{cases}）
  7. 法平面方程：1(x−1)+0(y+2)−1(z−1)=01(x-1) + 0(y+2) - 1(z-1) = 0，即 x−z=0x - z = 0

答案：切线 x−11=y+20=z−1−1\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-1}，法平面 x−z=0x-z=0

例题3：切线与平面平行

求曲线 x=t,y=−t2,z=t3x = t, y = -t^2, z = t^3 上与平面 x+2y+z=4x + 2y + z = 4 平行的切线方程。

参考答案
切线平行平面参数方程应用
  1. 切向量 T⃗=(1,−2t,3t2)\vec{T} = (1, -2t, 3t^2)
  2. 平面法向量 n⃗=(1,2,1)\vec{n} = (1, 2, 1)
  3. 切线与平面平行 ⟺ 切向量与法向量垂直 ⟺ T⃗⋅n⃗=0\vec{T} \cdot \vec{n} = 0
  4. 1⋅1+(−2t)⋅2+3t2⋅1=01 \cdot 1 + (-2t) \cdot 2 + 3t^2 \cdot 1 = 0，即 3t2−4t+1=03t^2 - 4t + 1 = 0
  5. 解得 t=1t = 1 或 t=13t = \frac{1}{3}
  6. t=1t=1 时：切点 (1,−1,1)(1,-1,1)，切向量 (1,−2,3)(1,-2,3)，切线 x−11=y+1−2=z−13\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-1}{3}
  7. t=13t=\frac{1}{3} 时：切点 (13,−19,127)(\frac{1}{3}, -\frac{1}{9}, \frac{1}{27})，切向量 (1,−23,13)(1, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3})，即 (3,−2,1)(3, -2, 1)，切线 x−133=y+19−2=z−1271\frac{x-\frac{1}{3}}{3}=\frac{y+\frac{1}{9}}{-2}=\frac{z-\frac{1}{27}}{1}

答案：两条切线分别为 x−11=y+1−2=z−13\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-1}{3} 和 x−133=y+19−2=z−1271\frac{x-\frac{1}{3}}{3}=\frac{y+\frac{1}{9}}{-2}=\frac{z-\frac{1}{27}}{1}

练习题

练习1

求螺旋线 x=acos⁡t,y=asin⁡t,z=btx = a\cos t, y = a\sin t, z = bt 在 t=π2t = \frac{\pi}{2} 处的切线方程和法平面方程。

参考答案
切线法平面螺旋线参数方程
  1. t=π2t=\frac{\pi}{2} 时：切点 (0,a,bπ2)(0, a, \frac{b\pi}{2})
  2. x′=−asin⁡t,y′=acos⁡t,z′=bx'=-a\sin t, y'=a\cos t, z'=b
  3. 在 t=π2t=\frac{\pi}{2} 处：切向量 (−a,0,b)(-a, 0, b)
  4. 切线：x−a=y−a0=z−bπ2b\frac{x}{-a} = \frac{y-a}{0} = \frac{z-\frac{b\pi}{2}}{b}（即 {y=abx+az=abπ2\begin{cases} y=a \\ bx+az = \frac{ab\pi}{2} \end{cases}）
  5. 法平面：−a(x−0)+0(y−a)+b(z−bπ2)=0-a(x-0)+0(y-a)+b(z-\frac{b\pi}{2})=0，即 −ax+bz−b2π2=0-ax+bz-\frac{b^2\pi}{2}=0

答案：切线 x−a=y−a0=z−bπ2b\frac{x}{-a}=\frac{y-a}{0}=\frac{z-\frac{b\pi}{2}}{b}，法平面 −ax+bz=b2π2-ax+bz=\frac{b^2\pi}{2}

练习2

求曲线 {x2+y2=1x2+z2=1\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ x^2 + z^2 = 1 \end{cases} 在点 (12,12,12)(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) 处的切线方程。

参考答案
切线一般方程空间曲线叉乘
  1. 令 F=x2+y2−1,G=x2+z2−1F=x^2+y^2-1, G=x^2+z^2-1
  2. ∇F=(2x,2y,0),∇G=(2x,0,2z)\nabla F=(2x,2y,0), \nabla G=(2x,0,2z)
  3. 在点处：∇F=(2,2,0),∇G=(2,0,2)\nabla F=(\sqrt{2},\sqrt{2},0), \nabla G=(\sqrt{2},0,\sqrt{2})
  4. 切向量 T⃗=∇F×∇G=∣i⃗j⃗k⃗220202∣=(2,−2,−2)\vec{T}=\nabla F\times\nabla G=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\sqrt{2}&\sqrt{2}&0\\\sqrt{2}&0&\sqrt{2}\end{vmatrix}=(2,-2,-2)，可取 (1,−1,−1)(1,-1,-1)
  5. 切线：x−121=y−12−1=z−12−1\frac{x-\frac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\frac{y-\frac{1}{\sqrt{2}}}{-1}=\frac{z-\frac{1}{\sqrt{2}}}{-1}

答案：切线方程为 x−121=y−12−1=z−12−1\frac{x-\frac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\frac{y-\frac{1}{\sqrt{2}}}{-1}=\frac{z-\frac{1}{\sqrt{2}}}{-1}

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
T⃗\vec{T}切向量tangent vector空间曲线的切向量
Γ\Gamma曲线gamma空间曲线
tt参数parameter曲线的参数
×\times叉乘cross product向量叉乘
∂(F,G)∂(y,z)\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}雅可比行列式Jacobian函数行列式

中英对照

中文术语英文术语音标
空间曲线space curve/speɪs kɜːrv/
切线tangent line/ˈtændʒənt laɪn/
法平面normal plane/ˈnɔːrməl pleɪn/
切向量tangent vector/ˈtændʒənt ˈvɛktər/
参数方程parametric equation/ˌpærəˈmɛtrɪk ɪˈkweɪʒən/
一般方程general equation/ˈdʒɛnərəl ɪˈkweɪʒən/
雅可比行列式Jacobian determinant/dʒəˈkoʊbiən dɪˈtɜːrmɪnənt/
叉乘cross product/krɒs ˈprɒdʌkt/
螺旋线helix/ˈhiːlɪks/
交线intersection curve/ˌɪntərˈsɛkʃən kɜːrv/
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曲面的切平面与法线
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几何应用综合

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