快易知
多元函数微分学

二阶导数判别法

黑塞矩阵

黑塞矩阵

设函数 z=f(x,y)z = f(x, y) 具有二阶连续偏导数，称矩阵

Hf(x,y)=(fxxfxyfyxfyy)H_f(x, y) = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}

为函数 ff 的黑塞矩阵（Hessian matrix）。

由于混合偏导数连续时 fxy=fyxf_{xy} = f_{yx}，黑塞矩阵是对称矩阵。

对于 nn 元函数 f(x1,…,xn)f(x_1, \ldots, x_n)，黑塞矩阵为 n×nn \times n 矩阵：

Hf=(fx1x1fx1x2⋯fx1xnfx2x1fx2x2⋯fx2xn⋮⋮⋱⋮fxnx1fxnx2⋯fxnxn)H_f = \begin{pmatrix} f_{x_1x_1} & f_{x_1x_2} & \cdots & f_{x_1x_n} \\ f_{x_2x_1} & f_{x_2x_2} & \cdots & f_{x_2x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{x_nx_1} & f_{x_nx_2} & \cdots & f_{x_nx_n} \end{pmatrix}

二元函数的二阶导数判别法

定理1

极值的充分条件：设函数 z=f(x,y)z = f(x, y) 在驻点 (x0,y0)(x_0, y_0) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，令

A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0)A = f_{xx}(x_0, y_0), \quad B = f_{xy}(x_0, y_0), \quad C = f_{yy}(x_0, y_0)

判别式 Δ=AC−B2\Delta = AC - B^2，则：

  1. 当 Δ>0\Delta > 0 时，函数在 (x0,y0)(x_0, y_0) 处取得极值：
    • A>0A > 0（或 C>0C > 0）时为极小值
    • A<0A < 0（或 C<0C < 0）时为极大值
  2. 当 Δ<0\Delta < 0 时，函数在 (x0,y0)(x_0, y_0) 处不是极值（鞍点）
  3. 当 Δ=0\Delta = 0 时，无法确定，需要用定义或其他方法进一步判断

n元函数的二阶导数判别法

定理2

设 nn 元函数 ff 在驻点 P0P_0 处具有二阶连续偏导数，Hf(P0)H_f(P_0) 为黑塞矩阵，则：

  1. 若 Hf(P0)H_f(P_0) 正定，则 P0P_0 是极小值点
  2. 若 Hf(P0)H_f(P_0) 负定，则 P0P_0 是极大值点
  3. 若 Hf(P0)H_f(P_0) 不定，则 P0P_0 不是极值点（鞍点）
  4. 若 Hf(P0)H_f(P_0) 半正定或半负定，则无法确定

矩阵正定性的判定：所有顺序主子式大于0为正定；奇数阶顺序主子式小于0、偶数阶大于0为负定。

判别法失效的情形

当 Δ=0\Delta = 0 时，二阶导数判别法失效，需要用定义或更高阶导数判断。

典型例题

例题1：求极值

求函数 f(x,y)=x3+y3−3xyf(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy 的极值。

参考答案
极值二阶导数判别法驻点
  1. 由上节例题知驻点为 (0,0)(0,0) 和 (1,1)(1,1)
  2. 二阶偏导数：fxx=6xf_{xx} = 6x，fxy=−3f_{xy} = -3，fyy=6yf_{yy} = 6y
  3. 在 (0,0)(0,0) 处：A=0,B=−3,C=0A=0, B=-3, C=0，Δ=0×0−(−3)2=−9<0\Delta = 0\times0 - (-3)^2 = -9 < 0，故 (0,0)(0,0) 不是极值点（鞍点）
  4. 在 (1,1)(1,1) 处：A=6,B=−3,C=6A=6, B=-3, C=6，Δ=6×6−9=27>0\Delta = 6\times6 - 9 = 27 > 0，且 A=6>0A=6>0，故 (1,1)(1,1) 是极小值点
  5. 极小值：f(1,1)=1+1−3=−1f(1,1) = 1+1-3 = -1

答案：极小值为 f(1,1)=−1f(1,1) = -1，(0,0)(0,0) 是鞍点。

例题2：判别法失效

求 f(x,y)=x4+y4−x2−y2f(x, y) = x^4 + y^4 - x^2 - y^2 的极值。

参考答案
极值高阶函数判别法
  1. fx=4x3−2x=2x(2x2−1)f_x = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2-1)，fy=4y3−2y=2y(2y2−1)f_y = 4y^3 - 2y = 2y(2y^2-1)
  2. 令 fx=fy=0f_x=f_y=0，解得 x=0x=0 或 x=±12x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}；y=0y=0 或 y=±12y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}
  3. 驻点共9个：(0,0),(0,±12),(±12,0),(±12,±12)(0,0), (0,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}), (\pm\frac{1}{\sqrt{2}},0), (\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\pm\frac{1}{\sqrt{2}})
  4. fxx=12x2−2,fxy=0,fyy=12y2−2f_{xx}=12x^2-2, f_{xy}=0, f_{yy}=12y^2-2
  5. 在 (±12,±12)(\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\pm\frac{1}{\sqrt{2}}) 处：A=4,B=0,C=4,Δ=16>0,A>0A=4, B=0, C=4, \Delta=16>0, A>0，极小值 f=−12f=-\frac{1}{2}
  6. 在 (0,±12)(0,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}) 和 (±12,0)(\pm\frac{1}{\sqrt{2}},0) 处：A=−2A=-2 或 C=−2C=-2，Δ=−4<0\Delta=-4<0，鞍点
  7. 在 (0,0)(0,0) 处：A=−2,B=0,C=−2,Δ=4>0,A<0A=-2, B=0, C=-2, \Delta=4>0, A<0，极大值 f(0,0)=0f(0,0)=0

答案：极大值 f(0,0)=0f(0,0)=0；极小值 f(±12,±12)=−12f(\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\pm\frac{1}{\sqrt{2}})=-\frac{1}{2}（共4个极小值点）；其余4个为鞍点。

例题3：三元函数极值

求 f(x,y,z)=x2+y2+z2+2x+4y−6zf(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 4y - 6z 的极值。

参考答案
极值三元函数黑塞矩阵正定
  1. fx=2x+2,fy=2y+4,fz=2z−6f_x = 2x+2, f_y = 2y+4, f_z = 2z-6
  2. 令偏导数为零：x=−1,y=−2,z=3x=-1, y=-2, z=3，驻点 (−1,−2,3)(-1,-2,3)
  3. 黑塞矩阵：H=(200020002)H = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
  4. 顺序主子式：2>0,∣2002∣=4>0,∣H∣=8>02>0, \begin{vmatrix}2&0\\0&2\end{vmatrix}=4>0, |H|=8>0，黑塞矩阵正定
  5. 故 (−1,−2,3)(-1,-2,3) 是极小值点
  6. 极小值：f(−1,−2,3)=1+4+9−2−8−18=−14f(-1,-2,3) = 1+4+9-2-8-18 = -14

答案：极小值为 f(−1,−2,3)=−14f(-1,-2,3) = -14。

练习题

练习1

求 f(x,y)=x3−y3+3x2+3y2−9xf(x, y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x 的极值。

参考答案
极值二阶导数判别法
  1. fx=3x2+6x−9=3(x+3)(x−1)f_x = 3x^2+6x-9 = 3(x+3)(x-1)，fy=−3y2+6y=−3y(y−2)f_y = -3y^2+6y = -3y(y-2)
  2. 驻点：x=−3x=-3 或 11；y=0y=0 或 22，共4个驻点
  3. fxx=6x+6,fxy=0,fyy=−6y+6f_{xx}=6x+6, f_{xy}=0, f_{yy}=-6y+6
  4. (1,0)(1,0)：A=12,C=6,Δ=72>0,A>0A=12,C=6,\Delta=72>0,A>0，极小值 f=−5f=-5
  5. (1,2)(1,2)：A=12,C=−6,Δ=−72<0A=12,C=-6,\Delta=-72<0，鞍点
  6. (−3,0)(-3,0)：A=−12,C=6,Δ=−72<0A=-12,C=6,\Delta=-72<0，鞍点
  7. (−3,2)(-3,2)：A=−12,C=−6,Δ=72>0,A<0A=-12,C=-6,\Delta=72>0,A<0，极大值 f=31f=31

答案：极小值 f(1,0)=−5f(1,0)=-5，极大值 f(−3,2)=31f(-3,2)=31，其余为鞍点。

练习2

求 f(x,y)=e2x(x+y2+2y)f(x, y) = e^{2x}(x + y^2 + 2y) 的极值。

参考答案
极值指数函数二阶导数判别法
  1. fx=e2x(2x+2y2+4y+1)f_x = e^{2x}(2x+2y^2+4y+1)，fy=e2x(2y+2)f_y = e^{2x}(2y+2)
  2. 令 fy=0f_y=0：y=−1y=-1；代入 fx=0f_x=0：2x+2−4+1=02x+2-4+1=0，x=12x=\frac{1}{2}
  3. 驻点 (12,−1)(\frac{1}{2}, -1)
  4. fxx=e2x(4x+4y2+8y+4)f_{xx} = e^{2x}(4x+4y^2+8y+4)，fxy=e2x(4y+4)f_{xy} = e^{2x}(4y+4)，fyy=2e2xf_{yy} = 2e^{2x}
  5. 在 (12,−1)(\frac{1}{2},-1) 处：A=2e,B=0,C=2e,Δ=4e2>0,A>0A=2e, B=0, C=2e, \Delta=4e^2>0, A>0，极小值
  6. f(12,−1)=e(12+1−2)=−e2f(\frac{1}{2},-1) = e( \frac{1}{2}+1-2) = -\frac{e}{2}

答案：极小值为 f(12,−1)=−e2f(\frac{1}{2},-1) = -\frac{e}{2}。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
A,B,CA, B, C二阶偏导A, B, Cfxx,fxy,fyyf_{xx}, f_{xy}, f_{yy} 在驻点处的值
Δ\Delta判别式deltaAC−B2AC - B^2
HfH_f黑塞矩阵Hessian of f二阶偏导数构成的矩阵
det⁡(H)\det(H)行列式determinant矩阵的行列式

中英对照

中文术语英文术语音标
二阶导数判别法second derivative test/ˈsɛkənd dɪˈrɪvətɪv tɛst/
黑塞矩阵Hessian matrix/ˈhɛsiən ˈmeɪtrɪks/
判别式discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/
正定矩阵positive definite matrix/ˈpɒzətɪv ˈdɛfənət ˈmeɪtrɪks/
负定矩阵negative definite matrix/ˈnɛɡətɪv ˈdɛfənət ˈmeɪtrɪks/
不定矩阵indefinite matrix/ɪnˈdɛfənət ˈmeɪtrɪks/
半正定positive semidefinite/ˈpɒzətɪv ˌsɛmiˈdɛfənət/
顺序主子式leading principal minor/ˈliːdɪŋ ˈprɪnsəpəl ˈmaɪnər/
充分条件sufficient condition/səˈfɪʃənt kənˈdɪʃən/
上一章节
极值的定义与必要条件
下一章节
极值的计算与应用

发现内容有问题？

告诉我们哪里需要改进。