全微分的几何意义

全微分的几何解释

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处可微，则曲面 $z = f(x, y)$ 在点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$ （其中 $z_0 = f(x_0, y_0)$ ）处存在切平面。

全微分 $dz = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$ 的几何意义是：切平面上点的竖坐标的增量。

当 $|\Delta x|, |\Delta y|$ 很小时， $\Delta z \approx dz$ ，即用切平面的增量近似代替曲面的增量——这就是局部线性化思想。

切平面方程

显式曲面 $z = f(x, y)$

定理1

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微，则曲面 $z = f(x, y)$ 在点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$ 处的切平面方程为：

$z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

切平面的法向量为：

$\vec{n} = (f_x(x_0, y_0), f_y(x_0, y_0), -1)$

隐式曲面 $F(x, y, z) = 0$

定理2

设曲面由方程 $F(x, y, z) = 0$ 给出， $M_0(x_0, y_0, z_0)$ 是曲面上一点，且 $F_x, F_y, F_z$ 在该点不同时为零，则曲面在 $M_0$ 处的切平面方程为：

$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0) + F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0) + F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0) = 0$

法向量为：

$\vec{n} = (F_x(x_0,y_0,z_0), F_y(x_0,y_0,z_0), F_z(x_0,y_0,z_0)) = \nabla F(M_0)$

法线方程

定理3

曲面在点 $M_0$ 处的法线是过 $M_0$ 且垂直于切平面的直线。

显式曲面 $z=f(x,y)$ ：法线方程为 $\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)} = \frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)} = \frac{z-z_0}{-1}$
隐式曲面 $F(x,y,z)=0$ ：法线方程为 $\frac{x-x_0}{F_x(M_0)} = \frac{y-y_0}{F_y(M_0)} = \frac{z-z_0}{F_z(M_0)}$

切平面与全微分的关系

切平面方程 $z - z_0 = f_x(x-x_0) + f_y(y-y_0)$ 右边正是全微分 $dz$ 。因此，全微分 $dz$ 就是切平面上对应于 $(x,y)$ 的点的竖坐标与 $z_0$ 之差。当 $(x,y)$ 接近 $(x_0,y_0)$ 时，切平面与曲面非常接近，这就是”以直代曲”的局部线性化思想。

典型例题

例题1：显式曲面的切平面

求曲面 $z = x^2 + y^2$ 在点 $(1, 2, 5)$ 处的切平面方程和法线方程。

参考答案

切平面法线显式曲面旋转抛物面

详细步骤：

$f_x = 2x$ ， $f_y = 2y$
在 $(1,2)$ 处： $f_x(1,2) = 2$ ， $f_y(1,2) = 4$
切平面方程： $z - 5 = 2(x-1) + 4(y-2)$ ，即 $2x + 4y - z - 5 = 0$
法线方程： $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{4} = \frac{z-5}{-1}$

答案：切平面 $2x+4y-z-5=0$ ，法线 $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-5}{-1}$

例题2：隐式曲面的切平面

求球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 14$ 在点 $(1, 2, 3)$ 处的切平面方程和法线方程。

参考答案

切平面法线隐式曲面球面

详细步骤：

令 $F(x,y,z) = x^2+y^2+z^2-14$
$F_x = 2x$ ， $F_y = 2y$ ， $F_z = 2z$
在 $(1,2,3)$ 处： $F_x=2$ ， $F_y=4$ ， $F_z=6$
切平面方程： $2(x-1) + 4(y-2) + 6(z-3) = 0$ ，即 $x + 2y + 3z - 14 = 0$
法线方程： $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{4} = \frac{z-3}{6}$ ，即 $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}$

答案：切平面 $x+2y+3z-14=0$ ，法线 $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}$

例题3：证明切平面过定点

证明曲面 $xyz = a^3$ （ $a>0$ ）上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积为常数。

参考答案

切平面四面体体积隐式曲面证明题

详细步骤：

令 $F(x,y,z) = xyz - a^3$ ，则 $F_x = yz$ ， $F_y = xz$ ， $F_z = xy$
设曲面上任一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ ，满足 $x_0y_0z_0 = a^3$
切平面方程： $y_0z_0(x-x_0) + x_0z_0(y-y_0) + x_0y_0(z-z_0) = 0$
化简： $y_0z_0 x + x_0z_0 y + x_0y_0 z = 3x_0y_0z_0 = 3a^3$
截距式： $\frac{x}{3x_0} + \frac{y}{3y_0} + \frac{z}{3z_0} = 1$
在三个坐标轴上的截距分别为 $3x_0, 3y_0, 3z_0$
四面体体积 $V = \frac{1}{6} \cdot |3x_0| \cdot |3y_0| \cdot |3z_0| = \frac{27}{6}|x_0y_0z_0| = \frac{9}{2}a^3$ （常数）

答案：四面体体积为 $\frac{9}{2}a^3$ ，是常数，与切点位置无关。

练习题

练习1

求曲面 $z = xy$ 在点 $(2, 3, 6)$ 处的切平面方程。

参考答案

切平面显式曲面双曲抛物面

详细步骤：

$f_x = y$ ， $f_y = x$
在 $(2,3)$ 处： $f_x(2,3) = 3$ ， $f_y(2,3) = 2$
切平面： $z - 6 = 3(x-2) + 2(y-3)$ ，即 $3x + 2y - z - 6 = 0$

答案：切平面方程为 $3x+2y-z-6=0$

练习2

求椭球面 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处的切平面方程。

参考答案

切平面隐式曲面椭球面

详细步骤：

令 $F = \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1$
$F_x = \frac{2x}{a^2}$ ， $F_y = \frac{2y}{b^2}$ ， $F_z = \frac{2z}{c^2}$
切平面： $\frac{2x_0}{a^2}(x-x_0) + \frac{2y_0}{b^2}(y-y_0) + \frac{2z_0}{c^2}(z-z_0) = 0$
化简： $\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} + \frac{z_0 z}{c^2} = \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2} = 1$

答案：切平面方程为 $\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}+\frac{z_0 z}{c^2}=1$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\vec{n}$	法向量	normal vector	切平面的法向量
$M_0$	切点	point of tangency	曲面上的切点
$\nabla F$	梯度	gradient	函数 $F$ 的梯度
$z_0$	函数值	z zero	切点处的函数值

中英对照

中文术语	英文术语	音标
切平面	tangent plane	/ˈtændʒənt pleɪn/
法线	normal line	/ˈnɔːrməl laɪn/
法向量	normal vector	/ˈnɔːrməl ˈvɛktər/
切点	point of tangency	/pɔɪnt əv ˈtændʒənsi/
局部线性化	local linearization	/ˈloʊkəl ˌlɪniəraɪˈzeɪʃən/
显式曲面	explicit surface	/ɪkˈsplɪsɪt ˈsɜːrfɪs/
隐式曲面	implicit surface	/ɪmˈplɪsɪt ˈsɜːrfɪs/
四面体	tetrahedron	/ˌtɛtrəˈhiːdrən/

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