快易知
多元函数微分学

高阶偏导数与混合偏导

高阶偏导数的定义

高阶偏导数

设函数 z=f(x,y)z = f(x, y) 在区域 DD 内具有偏导数 fx(x,y)f_x(x,y) 和 fy(x,y)f_y(x,y)，如果这两个偏导数的偏导数也存在，则称它们为 f(x,y)f(x,y) 的二阶偏导数。

二元函数有四个二阶偏导数：

∂∂x(∂z∂x)=∂2z∂x2=fxx\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = f_{xx}

∂∂y(∂z∂x)=∂2z∂x∂y=fxy\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_{xy}

∂∂x(∂z∂y)=∂2z∂y∂x=fyx\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = f_{yx}

∂∂y(∂z∂y)=∂2z∂y2=fyy\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = f_{yy}

其中 fxyf_{xy} 和 fyxf_{yx} 称为混合偏导数。

类似地，可以定义三阶、四阶等高阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

混合偏导数相等的条件

定理1

克莱罗定理（Clairaut’s theorem / Schwarz theorem）：如果函数 z=f(x,y)z = f(x,y) 的两个混合偏导数 fxyf_{xy} 和 fyxf_{yx} 在区域 DD 内连续，则在该区域内有

fxy=fyxf_{xy} = f_{yx}

即混合偏导数与求导次序无关。

对于初等函数，在其定义域内混合偏导数通常连续，因此一般有 fxy=fyxf_{xy} = f_{yx}，可以选择更简便的求导次序。

n元函数的高阶偏导数

对于 nn 元函数 u=f(x1,x2,…,xn)u = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)，二阶偏导数共有 n2n^2 个，其中混合偏导数在连续条件下有 n(n−1)2\frac{n(n-1)}{2} 对相等。

特别地，三元函数 u=f(x,y,z)u = f(x,y,z) 有9个二阶偏导数：fxx,fxy,fxz,fyx,fyy,fyz,fzx,fzy,fzzf_{xx}, f_{xy}, f_{xz}, f_{yx}, f_{yy}, f_{yz}, f_{zx}, f_{zy}, f_{zz}，在连续条件下 fxy=fyx,fxz=fzx,fyz=fzyf_{xy}=f_{yx}, f_{xz}=f_{zx}, f_{yz}=f_{zy}。

典型例题

例题1：求二阶偏导数

求 z=x3y2−3xy3+xy+1z = x^3 y^2 - 3xy^3 + xy + 1 的所有二阶偏导数。

参考答案
二阶偏导数混合偏导数多项式函数

详细步骤：

  1. 一阶偏导数： fx=3x2y2−3y3+yf_x = 3x^2 y^2 - 3y^3 + y fy=2x3y−9xy2+xf_y = 2x^3 y - 9xy^2 + x

  2. 二阶偏导数： fxx=6xy2f_{xx} = 6xy^2 fxy=6x2y−9y2+1f_{xy} = 6x^2 y - 9y^2 + 1 fyx=6x2y−9y2+1f_{yx} = 6x^2 y - 9y^2 + 1 fyy=2x3−18xyf_{yy} = 2x^3 - 18xy

  3. 验证：fxy=fyxf_{xy} = f_{yx}（多项式函数，混合偏导连续）

答案：fxx=6xy2f_{xx}=6xy^2，fxy=fyx=6x2y−9y2+1f_{xy}=f_{yx}=6x^2y-9y^2+1，fyy=2x3−18xyf_{yy}=2x^3-18xy

例题2：复合函数的二阶偏导

设 z=f(x2+y2)z = f(x^2 + y^2)，其中 ff 具有二阶连续导数，求 ∂2z∂x2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} 和 ∂2z∂x∂y\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}。

参考答案
二阶偏导数复合函数抽象函数链式法则

详细步骤：

  1. 令 u=x2+y2u = x^2 + y^2，则 z=f(u)z = f(u)
  2. 一阶偏导：∂z∂x=f′(u)⋅2x=2xf′(u)\frac{\partial z}{\partial x} = f'(u) \cdot 2x = 2x f'(u)
  3. 二阶偏导 ∂2z∂x2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}： ∂∂x[2xf′(u)]=2f′(u)+2x⋅f′′(u)⋅2x=2f′(u)+4x2f′′(u)\frac{\partial}{\partial x}[2x f'(u)] = 2f'(u) + 2x \cdot f''(u) \cdot 2x = 2f'(u) + 4x^2 f''(u)
  4. 混合偏导 ∂2z∂x∂y\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}： ∂∂y[2xf′(u)]=2x⋅f′′(u)⋅2y=4xyf′′(u)\frac{\partial}{\partial y}[2x f'(u)] = 2x \cdot f''(u) \cdot 2y = 4xy f''(u)

答案：∂2z∂x2=2f′(x2+y2)+4x2f′′(x2+y2)\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2f'(x^2+y^2) + 4x^2 f''(x^2+y^2)，∂2z∂x∂y=4xyf′′(x2+y2)\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 4xy f''(x^2+y^2)

例题3：验证拉普拉斯方程

验证 u=1x2+y2+z2u = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} 满足拉普拉斯方程 uxx+uyy+uzz=0u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = 0（在 r≠0r \neq 0 处）。

参考答案
拉普拉斯方程高阶偏导数调和函数三元函数

详细步骤：

  1. 令 r=x2+y2+z2r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}，则 u=1ru = \frac{1}{r}
  2. ux=−1r2⋅xr=−xr3u_x = -\frac{1}{r^2} \cdot \frac{x}{r} = -\frac{x}{r^3}
  3. uxx=−1r3−x⋅(−3)r−4⋅xr=−1r3+3x2r5u_{xx} = -\frac{1}{r^3} - x \cdot (-3)r^{-4} \cdot \frac{x}{r} = -\frac{1}{r^3} + \frac{3x^2}{r^5}
  4. 由对称性，uyy=−1r3+3y2r5u_{yy} = -\frac{1}{r^3} + \frac{3y^2}{r^5}，uzz=−1r3+3z2r5u_{zz} = -\frac{1}{r^3} + \frac{3z^2}{r^5}
  5. uxx+uyy+uzz=−3r3+3(x2+y2+z2)r5=−3r3+3r2r5=−3r3+3r3=0u_{xx}+u_{yy}+u_{zz} = -\frac{3}{r^3} + \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = -\frac{3}{r^3} + \frac{3r^2}{r^5} = -\frac{3}{r^3} + \frac{3}{r^3} = 0

答案：u=1ru = \frac{1}{r} 在 r≠0r \neq 0 处满足拉普拉斯方程，是调和函数（三维基本解）。

练习题

练习1

求 z=exyz = e^{xy} 的所有二阶偏导数。

参考答案
二阶偏导数混合偏导数指数函数

详细步骤：

  1. zx=yexyz_x = ye^{xy}，zy=xexyz_y = xe^{xy}
  2. zxx=y2exyz_{xx} = y^2 e^{xy}
  3. zxy=exy+xyexy=(1+xy)exyz_{xy} = e^{xy} + xye^{xy} = (1+xy)e^{xy}
  4. zyx=exy+xyexy=(1+xy)exyz_{yx} = e^{xy} + xye^{xy} = (1+xy)e^{xy}
  5. zyy=x2exyz_{yy} = x^2 e^{xy}

答案：zxx=y2exyz_{xx}=y^2e^{xy}，zxy=zyx=(1+xy)exyz_{xy}=z_{yx}=(1+xy)e^{xy}，zyy=x2exyz_{yy}=x^2e^{xy}

练习2

设 u=f(x,xy)u = f(x, \frac{x}{y})，ff 具有二阶连续偏导数，求 ∂2u∂x2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}。

参考答案
二阶偏导数复合函数抽象函数

详细步骤：

  1. 令 v=xv = x，w=xyw = \frac{x}{y}，则 u=f(v,w)u = f(v, w)
  2. 记 f1=∂f∂vf_1 = \frac{\partial f}{\partial v}，f2=∂f∂wf_2 = \frac{\partial f}{\partial w}，f11=∂2f∂v2f_{11} = \frac{\partial^2 f}{\partial v^2}，f12=∂2f∂v∂wf_{12} = \frac{\partial^2 f}{\partial v \partial w}，f22=∂2f∂w2f_{22} = \frac{\partial^2 f}{\partial w^2}
  3. ∂u∂x=f1⋅1+f2⋅1y=f1+1yf2\frac{\partial u}{\partial x} = f_1 \cdot 1 + f_2 \cdot \frac{1}{y} = f_1 + \frac{1}{y}f_2
  4. ∂2u∂x2=(f11⋅1+f12⋅1y)+1y(f21⋅1+f22⋅1y)=f11+2yf12+1y2f22\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = (f_{11} \cdot 1 + f_{12} \cdot \frac{1}{y}) + \frac{1}{y}(f_{21} \cdot 1 + f_{22} \cdot \frac{1}{y}) = f_{11} + \frac{2}{y}f_{12} + \frac{1}{y^2}f_{22}（利用 f12=f21f_{12}=f_{21}）

答案：∂2u∂x2=f11+2yf12+1y2f22\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = f_{11} + \frac{2}{y}f_{12} + \frac{1}{y^2}f_{22}

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
fxxf_{xx}二阶偏导f double x对 x 连续求两次偏导
fxyf_{xy}混合偏导f x y先对 x 再对 y 求偏导
fyxf_{yx}混合偏导f y x先对 y 再对 x 求偏导
fyyf_{yy}二阶偏导f double y对 y 连续求两次偏导
∇2u\nabla^2 u拉普拉斯算子Laplacianuxx+uyy+uzzu_{xx}+u_{yy}+u_{zz}

中英对照

中文术语英文术语音标
高阶偏导数higher-order partial derivative/ˈhaɪər ˈɔːrdər ˈpɑːrʃəl dɪˈrɪvətɪv/
二阶偏导数second-order partial derivative/ˈsɛkənd ˈɔːrdər ˈpɑːrʃəl dɪˈrɪvətɪv/
混合偏导数mixed partial derivative/mɪkst ˈpɑːrʃəl dɪˈrɪvətɪv/
克莱罗定理Clairaut’s theorem/klɛˈroʊz ˈθɪərəm/
拉普拉斯方程Laplace equation/ləˈplɑːs ɪˈkweɪʒən/
调和函数harmonic function/hɑːrˈmɒnɪk ˈfʌŋkʃən/
求导次序order of differentiation/ˈɔːrdər əv ˌdɪfərɛnʃiˈeɪʃən/
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