偏导数的定义与几何意义

偏导数的定义

偏导数

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内有定义，固定 $y = y_0$ ，让 $x$ 在 $x_0$ 处有增量 $\Delta x$ ，如果极限

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$

存在，则称此极限为函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作

$f_x(x_0, y_0), \quad \frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(x_0, y_0)}, \quad \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0, y_0)}, \quad z_x\big|_{(x_0, y_0)}$

类似地，对 $y$ 的偏导数定义为：

$f_y(x_0, y_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}$

如果函数在区域 $D$ 内每一点 $(x,y)$ 处对 $x$ 的偏导数都存在，则这个偏导数就是 $x,y$ 的函数，称为对 $x$ 的偏导函数（简称偏导数），记作 $f_x(x,y)$ 或 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 。

几何意义

偏导数的几何意义

$f_x(x_0, y_0)$ ：曲面 $z = f(x,y)$ 被平面 $y = y_0$ 所截得的曲线 $\begin{cases} z = f(x, y_0) \\ y = y_0 \end{cases}$ 在点 $(x_0, y_0, f(x_0,y_0))$ 处的切线对 $x$ 轴的斜率。
$f_y(x_0, y_0)$ ：曲面被平面 $x = x_0$ 所截得的曲线在该点处的切线对 $y$ 轴的斜率。

偏导数与连续的关系

重要区别

在一元函数中，可导必连续。但在多元函数中，偏导数存在不一定连续！

这是因为偏导数只刻画了函数沿坐标轴方向的变化率，而连续性要求函数沿任意方向趋近时的极限都等于函数值。即使沿 $x$ 轴和 $y$ 轴方向的变化率存在，沿其他方向的极限也可能不存在或不等于函数值。

经典反例： $f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}$

在 $(0,0)$ 处：

$f_x(0,0) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to0} \frac{0}{\Delta x} = 0$
$f_y(0,0) = 0$
但 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 不存在（沿 $y=x$ 极限为 $\frac{1}{2}$ ），故函数在 $(0,0)$ 不连续。

典型例题

例题1：求偏导数

求 $f(x, y) = x^2 y + y^3$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数。

参考答案

偏导数计算多项式函数

详细步骤：

对 $x$ 求偏导（将 $y$ 视为常数）： $f_x = 2xy$
对 $y$ 求偏导（将 $x$ 视为常数）： $f_y = x^2 + 3y^2$
代入 $(1,2)$ ： $f_x(1,2) = 2\times1\times2 = 4$ ， $f_y(1,2) = 1 + 3\times4 = 13$

答案： $f_x(1,2) = 4$ ， $f_y(1,2) = 13$

例题2：分段函数的偏导数

求 $f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2 y}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}$ 在 $(0,0)$ 处的偏导数。

参考答案

偏导数分段函数定义法偏导存在但不连续

详细步骤：

用定义求 $f_x(0,0)$ ： $f_x(0,0) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to0} \frac{0-0}{\Delta x} = 0$
用定义求 $f_y(0,0)$ ： $f_y(0,0) = \lim_{\Delta y\to0} \frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y} = \lim_{\Delta y\to0} \frac{0-0}{\Delta y} = 0$
注意：虽然两个偏导数都存在且为0，但函数在 $(0,0)$ 处的极限为0（由极限例题可知），且 $f(0,0)=0$ ，故此函数在原点连续。这与上面的反例不同。

答案： $f_x(0,0) = 0$ ， $f_y(0,0) = 0$

练习题

练习1

求 $f(x, y) = e^{xy} + \sin(x^2 + y)$ 的偏导数 $f_x, f_y$ 。

参考答案

偏导数复合函数指数函数三角函数

详细步骤：

$f_x = y e^{xy} + 2x\cos(x^2+y)$
$f_y = x e^{xy} + \cos(x^2+y)$

答案： $f_x = ye^{xy}+2x\cos(x^2+y)$ ， $f_y = xe^{xy}+\cos(x^2+y)$

练习2

证明 $f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}$ 在 $(0,0)$ 处偏导数存在但不连续。

参考答案

偏导数不连续经典反例

详细步骤：

$f_x(0,0) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(\Delta x,0)-0}{\Delta x} = 0$
$f_y(0,0) = 0$
但沿 $y=x$ 趋近时极限为 $\frac{1}{2}$ ，沿 $x$ 轴趋近时极限为 $0$ ，极限不存在，故不连续。

答案：偏导数存在（均为0），但函数在原点不连续。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$f_x$	偏导数	f sub x	对 x 的偏导数
$f_y$	偏导数	f sub y	对 y 的偏导数
$\frac{\partial z}{\partial x}$	偏导数	partial z partial x	对 x 的偏导数（莱布尼茨记法）
$\Delta x$	增量	delta x	x 的增量

中英对照

中文术语	英文术语	音标
偏导数	partial derivative	/ˈpɑːrʃəl dɪˈrɪvətɪv/
偏导函数	partial derivative function	/ˈpɑːrʃəl dɪˈrɪvətɪv ˈfʌŋkʃən/
几何意义	geometric meaning	/ˌdʒiːəˈmɛtrɪk ˈmiːnɪŋ/
截线	trace / section	/treɪs/ /ˈsɛkʃən/
切线斜率	slope of tangent	/sloʊp əv ˈtændʒənt/
偏导与连续	partial derivative and continuity	/ˈpɑːrʃəl dɪˈrɪvətɪv ænd ˌkɒntɪˈnjuːəti/

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