快易知
多元函数微分学

隐函数定理

一个方程的隐函数定理

定理1

隐函数存在定理：设函数 F(x,y)F(x, y) 满足：

  1. 在点 (x0,y0)(x_0, y_0) 的某邻域内具有连续的一阶偏导数；
  2. F(x0,y0)=0F(x_0, y_0) = 0；
  3. Fy(x0,y0)≠0F_y(x_0, y_0) \neq 0。

则在点 (x0,y0)(x_0, y_0) 的某邻域内，方程 F(x,y)=0F(x, y) = 0 唯一确定一个具有连续导数的函数 y=f(x)y = f(x)，满足 y0=f(x0)y_0 = f(x_0)，且

dydx=−FxFy\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

三元隐函数

类似地，方程 F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0 在 Fz≠0F_z \neq 0 时确定隐函数 z=f(x,y)z = f(x,y)，且

∂z∂x=−FxFz,∂z∂y=−FyFz\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}

方程组的隐函数定理

定理2

设方程组

{F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0\begin{cases} F(x, y, u, v) = 0 \\ G(x, y, u, v) = 0 \end{cases}

在点 (x0,y0,u0,v0)(x_0, y_0, u_0, v_0) 的某邻域内满足：

  1. F,GF, G 具有连续的一阶偏导数；
  2. F(x0,y0,u0,v0)=0,G(x0,y0,u0,v0)=0F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0, G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0；
  3. 雅可比行列式 J=∂(F,G)∂(u,v)=∣FuFvGuGv∣≠0J = \frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} F_u & F_v \\ G_u & G_v \end{vmatrix} \neq 0。

则方程组在该点邻域内唯一确定一组具有连续偏导数的函数 u=u(x,y),v=v(x,y)u=u(x,y), v=v(x,y)，满足 u0=u(x0,y0),v0=v(x0,y0)u_0=u(x_0,y_0), v_0=v(x_0,y_0)。

隐函数组的求导

对方程组两边对 xx 求偏导（将 u,vu,v 视为 x,yx,y 的函数）：

{Fx+Fu∂u∂x+Fv∂v∂x=0Gx+Gu∂u∂x+Gv∂v∂x=0\begin{cases} F_x + F_u \frac{\partial u}{\partial x} + F_v \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \\ G_x + G_u \frac{\partial u}{\partial x} + G_v \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \end{cases}

这是关于 ∂u∂x,∂v∂x\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x} 的线性方程组，由克莱姆法则：

∂u∂x=−1J∂(F,G)∂(x,v),∂v∂x=−1J∂(F,G)∂(u,x)\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{J} \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)}, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{1}{J} \frac{\partial(F,G)}{\partial(u,x)}

类似地可求 ∂u∂y,∂v∂y\frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial y}。

反函数定理

定理3

反函数定理：设向量值函数 y⃗=f⃗(x⃗)\vec{y} = \vec{f}(\vec{x})（即 yi=fi(x1,…,xn)y_i = f_i(x_1,\ldots,x_n)，i=1,…,ni=1,\ldots,n）在点 x⃗0\vec{x}_0 的某邻域内具有连续的一阶偏导数，且雅可比行列式

J=∂(f1,…,fn)∂(x1,…,xn)≠0J = \frac{\partial(f_1,\ldots,f_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)} \neq 0

则在 y⃗0=f⃗(x⃗0)\vec{y}_0 = \vec{f}(\vec{x}_0) 的某邻域内，存在唯一的具有连续偏导数的反函数 x⃗=f⃗−1(y⃗)\vec{x} = \vec{f}^{-1}(\vec{y})，且

∂(x1,…,xn)∂(y1,…,yn)=1∂(y1,…,yn)∂(x1,…,xn)\frac{\partial(x_1,\ldots,x_n)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} = \frac{1}{\frac{\partial(y_1,\ldots,y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}}

即反函数的雅可比行列式等于原函数雅可比行列式的倒数。

典型例题

例题1：隐函数求导

设 z=z(x,y)z = z(x,y) 由方程 x2+y2+z2=4zx^2 + y^2 + z^2 = 4z 确定，求 ∂2z∂x2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}。

参考答案
隐函数二阶偏导隐函数求导
  1. 令 F=x2+y2+z2−4zF = x^2+y^2+z^2-4z，Fx=2x,Fz=2z−4F_x=2x, F_z=2z-4
  2. ∂z∂x=−FxFz=x2−z\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = \frac{x}{2-z}
  3. 对 xx 再求偏导： ∂2z∂x2=(2−z)−x(−∂z∂x)(2−z)2=2−z+x⋅x2−z(2−z)2=(2−z)2+x2(2−z)3\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{(2-z) - x(-\frac{\partial z}{\partial x})}{(2-z)^2} = \frac{2-z + x\cdot\frac{x}{2-z}}{(2-z)^2} = \frac{(2-z)^2 + x^2}{(2-z)^3}

答案：∂2z∂x2=(2−z)2+x2(2−z)3\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{(2-z)^2+x^2}{(2-z)^3}

例题2：方程组确定的隐函数

设 {x2+y2−uv=0xy−u2+v2=0\begin{cases} x^2 + y^2 - uv = 0 \\ xy - u^2 + v^2 = 0 \end{cases} 确定 u=u(x,y),v=v(x,y)u=u(x,y), v=v(x,y)，求 ∂u∂x,∂v∂x\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x}。

参考答案
隐函数组雅可比行列式方程组求导
  1. 令 F=x2+y2−uv,G=xy−u2+v2F=x^2+y^2-uv, G=xy-u^2+v^2
  2. J=∂(F,G)∂(u,v)=∣−v−u−2u2v∣=−2v2−2u2=−2(u2+v2)J = \frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} -v & -u \\ -2u & 2v \end{vmatrix} = -2v^2 - 2u^2 = -2(u^2+v^2)
  3. 对 xx 求偏导：{2x−vux−uvx=0y−2uux+2vvx=0\begin{cases} 2x - v u_x - u v_x = 0 \\ y - 2u u_x + 2v v_x = 0 \end{cases}
  4. 由克莱姆法则： ux=−1J∣2x−uy2v∣=4xv+yu2(u2+v2)u_x = -\frac{1}{J}\begin{vmatrix} 2x & -u \\ y & 2v \end{vmatrix} = \frac{4xv+yu}{2(u^2+v^2)} vx=−1J∣−v2x−2uy∣=4xu−yv2(u2+v2)v_x = -\frac{1}{J}\begin{vmatrix} -v & 2x \\ -2u & y \end{vmatrix} = \frac{4xu-yv}{2(u^2+v^2)}

答案：∂u∂x=4xv+yu2(u2+v2)\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{4xv+yu}{2(u^2+v^2)}，∂v∂x=4xu−yv2(u2+v2)\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{4xu-yv}{2(u^2+v^2)}

例题3：极坐标变换的雅可比

证明极坐标变换 x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r\cos\theta, y = r\sin\theta 的雅可比行列式为 rr，并求反函数的雅可比。

参考答案
反函数定理雅可比行列式极坐标
  1. ∂(x,y)∂(r,θ)=∣cos⁡θ−rsin⁡θsin⁡θrcos⁡θ∣=rcos⁡2θ+rsin⁡2θ=r\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r
  2. 由反函数定理，∂(r,θ)∂(x,y)=1∂(x,y)∂(r,θ)=1r\frac{\partial(r,\theta)}{\partial(x,y)} = \frac{1}{\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}} = \frac{1}{r}（r≠0r \neq 0）
  3. 验证：r=x2+y2,θ=arctan⁡yxr = \sqrt{x^2+y^2}, \theta = \arctan\frac{y}{x} ∂(r,θ)∂(x,y)=∣xryr−yr2xr2∣=x2+y2r3=r2r3=1r\frac{\partial(r,\theta)}{\partial(x,y)} = \begin{vmatrix} \frac{x}{r} & \frac{y}{r} \\ -\frac{y}{r^2} & \frac{x}{r^2} \end{vmatrix} = \frac{x^2+y^2}{r^3} = \frac{r^2}{r^3} = \frac{1}{r}

答案：极坐标变换的雅可比为 rr，反函数的雅可比为 1r\frac{1}{r}（r>0r>0）。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
FF隐函数方程implicit function定义隐函数的方程
JJ雅可比行列式Jacobian函数行列式
∂(F,G)∂(u,v)\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}雅可比行列式Jacobian determinant函数组的雅可比
f⃗\vec{f}向量值函数vector-valued function多元向量值函数
f⃗−1\vec{f}^{-1}反函数inverse function向量值函数的反函数

中英对照

中文术语英文术语音标
隐函数定理implicit function theorem/ɪmˈplɪsɪt ˈfʌŋkʃən ˈθɪərəm/
隐函数存在定理implicit function existence theorem/ɪɡˈzɪstəns ˈθɪərəm/
雅可比行列式Jacobian determinant/dʒəˈkoʊbiən dɪˈtɜːrmɪnənt/
反函数定理inverse function theorem/ˈɪnvɜːrs ˈfʌŋkʃən ˈθɪərəm/
隐函数组system of implicit functions/ˈsɪstəm əv ɪmˈplɪsɪt ˈfʌŋkʃənz/
克莱姆法则Cramer’s rule/ˈkreɪmərz ruːl/
向量值函数vector-valued function/ˈvɛktər væljuːd ˈfʌŋkʃən/
极坐标变换polar coordinate transformation/ˈpoʊlər koʊˈɔːrdɪnət ˌtrænsfərˈmeɪʃən/
连续偏导数continuous partial derivatives/kənˈtɪnjuəs ˈpɑːrʃəl dɪˈrɪvətɪvz/
唯一确定uniquely determined/juːˈniːkli dɪˈtɜːrmɪnd/
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