快易知
多元函数微分学

偏导数的计算与复合函数求导

偏导数的基本计算

计算偏导数时，将其他自变量视为常数，按一元函数求导法则进行。基本求导公式与一元函数完全相同。

常用求导公式

∂∂x(c)=0,∂∂x(xn)=nxn−1,∂∂x(ex)=ex\frac{\partial}{\partial x}(c) = 0, \quad \frac{\partial}{\partial x}(x^n) = nx^{n-1}, \quad \frac{\partial}{\partial x}(e^x) = e^x ∂∂x(ln⁡x)=1x,∂∂x(sin⁡x)=cos⁡x,∂∂x(cos⁡x)=−sin⁡x\frac{\partial}{\partial x}(\ln x) = \frac{1}{x}, \quad \frac{\partial}{\partial x}(\sin x) = \cos x, \quad \frac{\partial}{\partial x}(\cos x) = -\sin x

复合函数求导法则（链式法则）

情形一：中间变量为一元函数

定理1

设 z=f(u,v)z = f(u, v)，u=u(t)u = u(t)，v=v(t)v = v(t)，则复合函数 z=f(u(t),v(t))z = f(u(t), v(t)) 对 tt 的导数（全导数）为：

dzdt=∂z∂u⋅dudt+∂z∂v⋅dvdt\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{du}{dt} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{dv}{dt}

情形二：中间变量为二元函数

定理2

设 z=f(u,v)z = f(u, v)，u=u(x,y)u = u(x, y)，v=v(x,y)v = v(x, y)，则复合函数 z=f(u(x,y),v(x,y))z = f(u(x,y), v(x,y)) 的偏导数为：

∂z∂x=∂z∂u⋅∂u∂x+∂z∂v⋅∂v∂x\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}

∂z∂y=∂z∂u⋅∂u∂y+∂z∂v⋅∂v∂y\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}

情形三：特殊情形

  1. 一个中间变量：z=f(u,x,y)z = f(u, x, y)，u=u(x,y)u = u(x, y)，则 ∂z∂x=∂f∂u∂u∂x+∂f∂x,∂z∂y=∂f∂u∂u∂y+∂f∂y\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial y} 注意 ∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x} 是将 uu 视为常数对 xx 求偏导，与 ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x} 不同。

  2. 全导数推广：z=f(u,v,w)z = f(u, v, w)，u=u(t),v=v(t),w=w(t)u=u(t), v=v(t), w=w(t)，则 dzdt=∂z∂ududt+∂z∂vdvdt+∂z∂wdwdt\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt} + \frac{\partial z}{\partial w}\frac{dw}{dt}

隐函数求导

一个方程的情形

定理3

设函数 F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0 确定隐函数 z=z(x,y)z = z(x, y)，且 Fz≠0F_z \neq 0，则

∂z∂x=−FxFz,∂z∂y=−FyFz\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}

类似地，F(x,y)=0F(x,y)=0 确定 y=y(x)y=y(x) 时，dydx=−FxFy\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}（Fy≠0F_y \neq 0）。

推导方法

对方程 F(x,y,z(x,y))=0F(x, y, z(x,y)) = 0 两边对 xx 求偏导：

Fx+Fz⋅∂z∂x=0⇒∂z∂x=−FxFzF_x + F_z \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}

典型例题

例题1：复合函数求导

设 z=eusin⁡vz = e^u \sin v，u=xyu = xy，v=x+yv = x + y，求 ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x} 和 ∂z∂y\frac{\partial z}{\partial y}。

参考答案
复合函数链式法则偏导数

详细步骤：

  1. ∂z∂u=eusin⁡v\frac{\partial z}{\partial u} = e^u \sin v，∂z∂v=eucos⁡v\frac{\partial z}{\partial v} = e^u \cos v
  2. ∂u∂x=y\frac{\partial u}{\partial x} = y，∂u∂y=x\frac{\partial u}{\partial y} = x，∂v∂x=1\frac{\partial v}{\partial x} = 1，∂v∂y=1\frac{\partial v}{\partial y} = 1
  3. ∂z∂x=eusin⁡v⋅y+eucos⁡v⋅1=exy[ysin⁡(x+y)+cos⁡(x+y)]\frac{\partial z}{\partial x} = e^u \sin v \cdot y + e^u \cos v \cdot 1 = e^{xy}[y\sin(x+y) + \cos(x+y)]
  4. ∂z∂y=eusin⁡v⋅x+eucos⁡v⋅1=exy[xsin⁡(x+y)+cos⁡(x+y)]\frac{\partial z}{\partial y} = e^u \sin v \cdot x + e^u \cos v \cdot 1 = e^{xy}[x\sin(x+y) + \cos(x+y)]

答案：∂z∂x=exy[ysin⁡(x+y)+cos⁡(x+y)]\frac{\partial z}{\partial x} = e^{xy}[y\sin(x+y)+\cos(x+y)]，∂z∂y=exy[xsin⁡(x+y)+cos⁡(x+y)]\frac{\partial z}{\partial y} = e^{xy}[x\sin(x+y)+\cos(x+y)]

例题2：全导数

设 z=arctan⁡(xy)z = \arctan(xy)，y=exy = e^x，求 dzdx\frac{dz}{dx}。

参考答案
全导数复合函数链式法则

详细步骤：

方法一：全导数公式

  1. ∂z∂x=y1+x2y2\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{1+x^2y^2}，∂z∂y=x1+x2y2\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{1+x^2y^2}，dydx=ex\frac{dy}{dx} = e^x
  2. dzdx=∂z∂x+∂z∂ydydx=y1+x2y2+x1+x2y2⋅ex=ex+xex1+x2e2x=ex(1+x)1+x2e2x\frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dx} = \frac{y}{1+x^2y^2} + \frac{x}{1+x^2y^2} \cdot e^x = \frac{e^x + xe^x}{1+x^2e^{2x}} = \frac{e^x(1+x)}{1+x^2e^{2x}}

方法二：直接代入 z=arctan⁡(xex)z = \arctan(xe^x)，dzdx=(xex)′1+(xex)2=ex+xex1+x2e2x\frac{dz}{dx} = \frac{(xe^x)'}{1+(xe^x)^2} = \frac{e^x + xe^x}{1+x^2e^{2x}}

答案：dzdx=ex(1+x)1+x2e2x\frac{dz}{dx} = \frac{e^x(1+x)}{1+x^2e^{2x}}

例题3：隐函数求导

设 x2+y2+z2=4zx^2 + y^2 + z^2 = 4z 确定 z=z(x,y)z = z(x,y)，求 ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x} 和 ∂z∂y\frac{\partial z}{\partial y}。

参考答案
隐函数隐函数求导偏导数

详细步骤：

  1. 令 F(x,y,z)=x2+y2+z2−4zF(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4z
  2. Fx=2xF_x = 2x，Fy=2yF_y = 2y，Fz=2z−4F_z = 2z - 4
  3. ∂z∂x=−FxFz=−2x2z−4=x2−z\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{2x}{2z-4} = \frac{x}{2-z}
  4. ∂z∂y=−FyFz=−2y2z−4=y2−z\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} = -\frac{2y}{2z-4} = \frac{y}{2-z}

答案：∂z∂x=x2−z\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{2-z}，∂z∂y=y2−z\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{2-z}

练习题

练习1

设 z=u2ln⁡vz = u^2 \ln v，u=xyu = \frac{x}{y}，v=3x−2yv = 3x - 2y，求 ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x}。

参考答案
复合函数链式法则偏导数

详细步骤：

  1. ∂z∂u=2uln⁡v\frac{\partial z}{\partial u} = 2u\ln v，∂z∂v=u2v\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{u^2}{v}
  2. ∂u∂x=1y\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{y}，∂v∂x=3\frac{\partial v}{\partial x} = 3
  3. ∂z∂x=2uln⁡v⋅1y+u2v⋅3=2xy2ln⁡(3x−2y)+3x2y2(3x−2y)\frac{\partial z}{\partial x} = 2u\ln v \cdot \frac{1}{y} + \frac{u^2}{v} \cdot 3 = \frac{2x}{y^2}\ln(3x-2y) + \frac{3x^2}{y^2(3x-2y)}

答案：∂z∂x=2xy2ln⁡(3x−2y)+3x2y2(3x−2y)\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{y^2}\ln(3x-2y) + \frac{3x^2}{y^2(3x-2y)}

练习2

设 ez−xyz=0e^z - xyz = 0 确定 z=z(x,y)z = z(x,y)，求 ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x}。

参考答案
隐函数隐函数求导

详细步骤：

  1. 令 F(x,y,z)=ez−xyzF(x,y,z) = e^z - xyz
  2. Fx=−yzF_x = -yz，Fz=ez−xyF_z = e^z - xy
  3. ∂z∂x=−FxFz=yzez−xy=yzxyz−xy=zx(z−1)\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = \frac{yz}{e^z - xy} = \frac{yz}{xyz - xy} = \frac{z}{x(z-1)}（利用 ez=xyze^z = xyz）

答案：∂z∂x=yzez−xy=zx(z−1)\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{yz}{e^z-xy} = \frac{z}{x(z-1)}

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
dzdt\frac{dz}{dt}全导数total derivative复合函数对单一自变量的导数
Fx,Fy,FzF_x, F_y, F_z偏导数partial derivatives隐函数方程对各变量的偏导数
u,v,wu, v, w中间变量intermediate variables复合函数的中间变量

中英对照

中文术语英文术语音标
复合函数composite function/kəmˈpɒzɪt ˈfʌŋkʃən/
链式法则chain rule/tʃeɪn ruːl/
全导数total derivative/ˈtoʊtl dɪˈrɪvətɪv/
隐函数implicit function/ɪmˈplɪsɪt ˈfʌŋkʃən/
隐函数求导implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfərɛnʃiˈeɪʃən/
中间变量intermediate variable/ˌɪntərˈmiːdiət ˈvɛriəbəl/
自变量independent variable/ˌɪndɪˈpɛndənt ˈvɛriəbəl/
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偏导数的定义与几何意义
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