全微分

全微分的定义

全微分

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某个邻域内有定义，如果函数的增量：

$\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)$

可以表示为：

$\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$

其中 $A, B$ 是与 $\Delta x, \Delta y$ 无关的常数， $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ ，则称函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微， $A\Delta x + B\Delta y$ 称为函数在该点的全微分，记作：

$dz = A\Delta x + B\Delta y$

全微分公式

$dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

其中 $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的值。

可微性的条件

定理 1

函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微的充要条件是：

$f_x(x_0, y_0)$ 和 $f_y(x_0, y_0)$ 存在
$f_{xy}(x_0, y_0) = f_{yx}(x_0, y_0)$ （混合偏导数相等）

此时全微分为：

$dz = f_x(x_0, y_0) dx + f_y(x_0, y_0) dy$

可微性与连续性

可微性是连续性的充分条件，但不是必要条件。

全微分的几何意义

全微分 $dz$ 表示曲面 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ 处的切平面方程。

切平面方程

切平面的方程为：

$z - f(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

全微分在近似计算中的应用

近似公式

$f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) \approx f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)\Delta x + f_y(x_0, y_0)\Delta y$

误差估计

$|\Delta z - dz| \leq \frac{1}{2} \sqrt{(f_{xx})^2 + 2(f_{xy})^2 + (f_{yy})^2} \cdot \rho^2$

复合函数的全微分

复合函数全微分

设 $z = f(u, v)$ ， $u = u(x, y)$ ， $v = v(x, y)$ ，则：

$dz = \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partial z}{\partial v} dv$

其中 $du, dv$ 又是 $x, y$ 的全微分。

练习题

练习 1

求 $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$ 在点 $(1, 1)$ 处的全微分。

参考答案 (3 个标签)

全微分计算对数函数

解题思路：全微分 $dz = f_x dx + f_y dy$ ，需要先求偏导数。

详细步骤：

偏导数： $f_x = \frac{2x}{x^2 + y^2}$ ， $f_y = \frac{2y}{x^2 + y^2}$
在点 $(1, 1)$ 处： $f_x(1, 1) = \frac{2}{2} = 1$ $f_y(1, 1) = \frac{2}{2} = 1$
全微分： $dz = dx + dy$

答案： $dz = dx + dy$

练习 2

判断函数 $f(x, y) = \sqrt{|xy|}$ 在点 $(0, 0)$ 处是否可微。

参考答案 (3 个标签)

可微性偏导数极限

解题思路：检查可微性的条件：偏导数存在且混合偏导数相等。

详细步骤：

计算偏导数：当 $(x, y) \neq (0, 0)$ 时： $f_x = \frac{1}{2} (xy)^{-\frac{1}{2}} \cdot y = \frac{y}{2\sqrt{|xy|}}$ $f_y = \frac{x}{2\sqrt{|xy|}}$
在 $(0, 0)$ 点的极限： $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f_x = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{y}{2\sqrt{|xy|}}$ 不存在 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f_y = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x}{2\sqrt{|xy|}}$ 不存在
偏导数在 $(0, 0)$ 处不存在，因此函数在该点不可微。

答案：函数在点 $(0, 0)$ 处不可微

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$dz$	全微分	total differential	函数的全微分
$\Delta z$	函数增量	increment	函数的增量
$o(\rho)$	高阶无穷小	higher-order infinitesimal	高阶无穷小

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
全微分	total differential	/ˈtoʊtl ˌdɪfəˈrɛnʃəl/	多元函数的微分
可微性	differentiability	/ˌdɪfəˌrɛnʃiˈæbɪlɪti/	函数可微的性质
切平面	tangent plane	/ˈtændʒənt pleɪn/	曲面在一点的切平面
近似计算	approximation	/əˌprɒksɪˈmeɪʃən/	使用微分进行近似计算

上一章节偏导数学习偏导数的定义、计算方法和高阶偏导数。下一章节方向导数与梯度学习方向导数、梯度、切平面、法线等概念及其应用。

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