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多元函数微分学

多元函数的极限

二重极限的定义

二重极限

设函数 f(x,y)f(x, y) 在点 P0(x0,y0)P_0(x_0, y_0) 的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数 ε\varepsilon，总存在正数 δ\delta，使得当点 P(x,y)P(x, y) 满足 0<(x−x0)2+(y−y0)2<δ0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta 时，都有 ∣f(x,y)−A∣<ε|f(x, y) - A| < \varepsilon，则称 AA 为函数 f(x,y)f(x, y) 当 (x,y)→(x0,y0)(x, y) \to (x_0, y_0) 时的二重极限，记作：

lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = A

极限的性质

定理1
  1. 唯一性：极限存在则唯一。
  2. 局部有界性：极限存在则函数在去心邻域内有界。
  3. 四则运算：和差积商的极限等于极限的和差积商（分母非零）。
  4. 夹逼准则：g≤f≤hg \leq f \leq h 且 lim⁡g=lim⁡h=A\lim g = \lim h = A，则 lim⁡f=A\lim f = A。
  5. 复合函数极限：若 lim⁡f=A\lim f = A 且 lim⁡u→Ag(u)=B\lim_{u\to A} g(u) = B，则 lim⁡g(f)=B\lim g(f) = B。

累次极限

累次极限

先固定一个变量让另一个趋近，再让固定变量趋近，得到的极限称为累次极限：

lim⁡x→x0lim⁡y→y0f(x,y),lim⁡y→y0lim⁡x→x0f(x,y)\lim_{x \to x_0} \lim_{y \to y_0} f(x, y), \quad \lim_{y \to y_0} \lim_{x \to x_0} f(x, y)

极限不存在的判定

典型例题

例题1：极限不存在（路径法）

证明 lim⁡(x,y)→(0,0)xyx2+y2\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy}{x^2 + y^2} 不存在。

参考答案
极限不存在路径法经典反例

详细步骤：

  1. 沿 xx 轴（y=0y=0）：lim⁡x→00x2=0\lim_{x\to0} \frac{0}{x^2} = 0
  2. 沿 y=xy=x：lim⁡x→0x22x2=12\lim_{x\to0} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}
  3. 两路径极限不同，故不存在。

答案：极限不存在。

例题2：极限不存在（抛物线路径）

证明 lim⁡(x,y)→(0,0)x2yx4+y2\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} 不存在。

参考答案
极限不存在抛物线路径高阶无穷小

详细步骤：

  1. 沿 xx 轴：极限为 00
  2. 沿 y=x2y=x^2：lim⁡x→0x4x4+x4=12\lim_{x\to0} \frac{x^4}{x^4+x^4} = \frac{1}{2}
  3. 两路径极限不同，故不存在。

答案：极限不存在。

例题3：求极限（夹逼/极坐标）

求 lim⁡(x,y)→(0,0)x2yx2+y2\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}。

参考答案
极限存在夹逼准则极坐标无穷小乘有界

详细步骤：

方法一：夹逼准则 0≤∣x2yx2+y2∣≤(x2+y2)x2+y2x2+y2=x2+y2→00 \leq |\frac{x^2 y}{x^2+y^2}| \leq \frac{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2} = \sqrt{x^2+y^2} \to 0

方法二：极坐标 原式 =lim⁡ρ→0ρ2cos⁡2θ⋅ρsin⁡θρ2=lim⁡ρ→0ρcos⁡2θsin⁡θ=0= \lim_{\rho\to0} \frac{\rho^2\cos^2\theta \cdot \rho\sin\theta}{\rho^2} = \lim_{\rho\to0} \rho\cos^2\theta\sin\theta = 0

答案：00

练习题

练习1

求 lim⁡(x,y)→(0,0)sin⁡(x2+y2)x2+y2\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\sin(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}。

参考答案
极限存在等价无穷小重要极限

详细步骤：

令 t=x2+y2t=x^2+y^2，原式 =lim⁡t→0+sin⁡tt=1= \lim_{t\to0^+} \frac{\sin t}{t} = 1

答案：11

练习2

证明 lim⁡(x,y)→(0,0)x2−y2x2+y2\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} 不存在。

参考答案
极限不存在路径法

详细步骤：

  1. 沿 xx 轴：lim⁡x→0x2x2=1\lim_{x\to0} \frac{x^2}{x^2} = 1
  2. 沿 yy 轴：lim⁡y→0−y2y2=−1\lim_{y\to0} \frac{-y^2}{y^2} = -1
  3. 极限不同，故不存在。

答案：极限不存在。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
ε\varepsilon希腊字母epsilon极限定义中的任意正数
δ\delta希腊字母delta极限定义中的正数
ρ\rho希腊字母rho极坐标极径
θ\theta希腊字母theta极坐标极角
AA常数constant极限值

中英对照

中文术语英文术语音标
二重极限double limit/ˈdʌbəl ˈlɪmɪt/
累次极限iterated limit/ˈɪtəreɪtɪd ˈlɪmɪt/
去心邻域punctured neighborhood/ˈpʌŋktʃərd ˈneɪbərhʊd/
夹逼准则squeeze theorem/skwiːz ˈθɪərəm/
路径法path method/pæθ ˈmɛθəd/
极坐标变换polar coordinate substitution/ˈpoʊlər koʊˈɔːrdɪnət ˌsʌbstɪˈtjuːʃən/
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多元函数的定义与定义域
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