条件极值与拉格朗日乘数法

条件极值的定义

条件极值

在变量 $x, y$ 受条件 $g(x, y) = 0$ 约束下，求函数 $z = f(x, y)$ 的极值问题，称为条件极值问题。

几何意义

条件极值问题相当于在曲线 $g(x, y) = 0$ 上求函数 $z = f(x, y)$ 的极值。

拉格朗日乘数法

定理 1

求函数 $z = f(x, y)$ 在条件 $g(x, y) = 0$ 下的极值点，构造拉格朗日函数：

$L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y)$

令偏导数为零：

$\begin{cases} L_x = f_x + \lambda g_x = 0 \\ L_y = f_y + \lambda g_y = 0 \\ L_\lambda = g(x, y) = 0 \end{cases}$

解此方程组即可得到可能的极值点。

解题步骤

构造拉格朗日函数： $L = f + \lambda g$
求偏导数： $\frac{\partial L}{\partial x} = 0$ ， $\frac{\partial L}{\partial y} = 0$ ， $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0$
解方程组：得到可能的极值点
验证：检查是否为极值点

多约束条件

多约束情况

对于多个约束条件 $g_i(x, y) = 0$ $(i=1,2,\dots,m)$ ，拉格朗日函数为：

$L(x, y, \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_m) = f(x, y) + \sum_{i=1}^m \lambda_i g_i(x, y)$

三元函数的条件极值

三元函数条件极值

求 $u = f(x, y, z)$ 在条件 $g(x, y, z) = 0$ 下的极值：

$L(x, y, z, \lambda) = f(x, y, z) + \lambda g(x, y, z)$

$\begin{cases} L_x = f_x + \lambda g_x = 0 \\ L_y = f_y + \lambda g_y = 0 \\ L_z = f_z + \lambda g_z = 0 \\ L_\lambda = g(x, y, z) = 0 \end{cases}$

拉格朗日乘数的几何意义

拉格朗日乘数 $\lambda$ 表示约束条件对目标函数的影响程度。

几何意义

$\lambda = -\frac{\nabla f \cdot \vec{n}}{|\nabla g|}$

其中 $\vec{n}$ 是约束曲面的法向量。

应用示例

几何应用

在几何中，条件极值用于：

求最大面积的矩形
求最短距离
求最大体积

经济学应用

在经济学中，条件极值用于：

预算约束下的效用最大化
资源约束下的利润最大化

练习题

练习 1

求函数 $z = x^2 + y^2$ 在条件 $x + y = 1$ 下的极值。

参考答案 (3 个标签)

条件极值拉格朗日乘数法几何意义

解题思路：使用拉格朗日乘数法构造辅助函数。

详细步骤：

构造拉格朗日函数： $L = x^2 + y^2 + \lambda(x + y - 1)$
求偏导数： $L_x = 2x + \lambda = 0$ $L_y = 2y + \lambda = 0$ $L_\lambda = x + y - 1 = 0$
解方程组：从前两个方程得： $x = y$ 代入第三个方程： $2x = 1$ ， $x = y = \frac{1}{2}$
验证：点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 在约束条件下，函数值为 $\frac{1}{2}$

答案：在点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 处取得极值 $\frac{1}{2}$

练习 2

求函数 $u = x + y + z$ 在条件 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 下的最大值和最小值。

参考答案 (3 个标签)

三元函数球面约束几何意义

解题思路：使用拉格朗日乘数法求三元函数的条件极值。

详细步骤：

构造拉格朗日函数： $L = x + y + z + \lambda(x^2 + y^2 + z^2 - 1)$
求偏导数： $L_x = 1 + 2\lambda x = 0$ $L_y = 1 + 2\lambda y = 0$ $L_z = 1 + 2\lambda z = 0$ $L_\lambda = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$
解方程组：从前三个方程得： $x = y = z = -\frac{1}{2\lambda}$ 代入第四个方程： $3(\frac{1}{2\lambda})^2 = 1$ $3 \cdot \frac{1}{4\lambda^2} = 1$ $\lambda^2 = \frac{3}{4}$ ， $\lambda = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
当 $\lambda = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 时， $x = y = z = -\frac{1}{2\lambda} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ 函数值： $-\frac{\sqrt{3}}{3} \times 3 = -\sqrt{3}$
当 $\lambda = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时， $x = y = z = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 函数值： $\frac{\sqrt{3}}{3} \times 3 = \sqrt{3}$

答案：最大值 $\sqrt{3}$ ，最小值 $-\sqrt{3}$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$L$	拉格朗日函数	Lagrangian function	拉格朗日函数
$\lambda$	拉格朗日乘数	Lagrange multiplier	拉格朗日乘数
条件极值	conditional extremum	conditional extreme value	条件下的极值

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
条件极值	conditional extremum	/kənˈdɪʃənl ɪkˈstriːməm/	受约束条件下的极值
拉格朗日乘数法	Lagrange multiplier method	/ləˈgrɑːndʒ ˈmʌltɪplaɪər ˈmɛθəd/	求条件极值的方法
约束条件	constraint	/kənˈstreɪnt/	变量必须满足的条件
辅助函数	auxiliary function	/ɔːɡˈzɪliəri ˈfʌŋkʃən/	帮助求解的函数

上一章节条件极值与拉格朗日乘数法学习条件极值的概念和拉格朗日乘数法及其应用。下一章节多元微分学的几何应用学习多元微分学在几何学中的应用，包括切平面、法线等。

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