极值的定义与必要条件

极值的定义

多元函数的极值

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内异于 $P_0$ 的任意点 $P(x, y)$ ，都有

$f(x, y) < f(x_0, y_0) \quad \text{（或 } f(x, y) > f(x_0, y_0) \text{）}$

则称函数在 $P_0$ 处取得极大值（或极小值） $f(x_0, y_0)$ ，点 $P_0$ 称为极大值点（或极小值点）。

极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。

注意

极值是一个局部概念，只与极值点附近的函数值比较，不一定是整个定义域上的最大值或最小值。一个函数可以有多个极大值和极小值，且极大值不一定大于极小值。

三元及以上函数的极值

类似地， $n$ 元函数 $u = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 在点 $P_0$ 处取得极值，是指在 $P_0$ 的某邻域内， $f(P_0)$ 是最大值（极大值）或最小值（极小值）。

极值的必要条件

定理1

费马定理（极值的必要条件）：设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处具有偏导数，且在该点取得极值，则有

$f_x(x_0, y_0) = 0, \quad f_y(x_0, y_0) = 0$

对于 $n$ 元函数，极值点处所有一阶偏导数均为零：

$f_{x_i}(P_0) = 0 \quad (i = 1, 2, \ldots, n)$

注意

必要条件要求函数在极值点处偏导数存在。如果偏导数不存在，函数也可能取得极值（如 $f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$ 处取得极小值，但偏导数不存在）。
偏导数为零只是极值的必要条件，不是充分条件。偏导数为零的点不一定是极值点（如鞍点）。

临界点与驻点

临界点（驻点）

使函数 $f(x, y)$ 的一阶偏导数同时为零的点，即满足

$f_x(x, y) = 0, \quad f_y(x, y) = 0$

的点 $(x, y)$ ，称为函数的驻点（或临界点）。

更一般地，使梯度 $\nabla f = \vec{0}$ 的点称为驻点。

极值点与驻点的关系

可微的极值点一定是驻点（必要条件）。
驻点不一定是极值点（可能是鞍点）。
极值点也可能不是驻点（偏导数不存在的点）。

因此，寻找极值点需要考察两类点：

驻点（ $\nabla f = \vec{0}$ ）
偏导数不存在的点

然后用充分条件（二阶导数判别法）或定义判断是否为极值点。

鞍点

驻点中不是极值点的点称为鞍点。在鞍点处，函数沿某些方向递增，沿另一些方向递减，形状类似马鞍。

典型例子： $f(x,y) = x^2 - y^2$ 在 $(0,0)$ 处， $f_x = 2x = 0$ ， $f_y = -2y = 0$ ，是驻点。但沿 $x$ 轴方向函数递增（ $f(x,0)=x^2$ ），沿 $y$ 轴方向函数递减（ $f(0,y)=-y^2$ ），故不是极值点，是鞍点。

典型例题

例题1：求驻点

求函数 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ 的驻点。

参考答案

驻点临界点偏导数为零

求偏导数： $f_x = 3x^2 - 3y$ ， $f_y = 3y^2 - 3x$
令偏导数为零： $\begin{cases} 3x^2 - 3y = 0 \\ 3y^2 - 3x = 0 \end{cases}$ ，即 $\begin{cases} y = x^2 \\ x = y^2 \end{cases}$
代入： $x = (x^2)^2 = x^4$ ，即 $x^4 - x = 0$ ， $x(x^3-1) = 0$
解得 $x = 0$ 或 $x = 1$
当 $x=0$ 时， $y=0$ ；当 $x=1$ 时， $y=1$
驻点为 $(0, 0)$ 和 $(1, 1)$

答案：驻点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$

例题2：偏导数不存在的极值点

讨论 $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ 在 $(0,0)$ 处是否取得极值。

参考答案

极值偏导数不存在极小值

在 $(0,0)$ 处， $f(0,0) = 0$
对任意 $(x,y) \neq (0,0)$ ， $f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2} > 0 = f(0,0)$
故 $(0,0)$ 是极小值点，极小值为 $0$ 。
但偏导数： $f_x(0,0) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}$ 不存在，同理 $f_y(0,0)$ 不存在。
因此 $(0,0)$ 不是驻点，而是偏导数不存在的极值点。

答案： $(0,0)$ 是极小值点（极小值为0），但偏导数不存在，不是驻点。

例题3：鞍点判断

证明 $f(x, y) = xy$ 在 $(0,0)$ 处是鞍点。

参考答案

鞍点驻点非极值点

$f_x = y$ ， $f_y = x$ ，在 $(0,0)$ 处 $f_x = f_y = 0$ ，故 $(0,0)$ 是驻点。
沿 $y = x$ 方向： $f(x,x) = x^2 > 0$ （ $x \neq 0$ ），函数递增。
沿 $y = -x$ 方向： $f(x,-x) = -x^2 < 0$ （ $x \neq 0$ ），函数递减。
因此在 $(0,0)$ 的任意邻域内，既有函数值大于0的点，也有小于0的点，而 $f(0,0)=0$ 。
故 $(0,0)$ 不是极值点，是鞍点。

答案： $(0,0)$ 是鞍点。

练习题

练习1

求函数 $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 + 3x - 2y + 1$ 的驻点。

参考答案

驻点临界点

$f_x = 2x - y + 3$ ， $f_y = -x + 2y - 2$
令 $\begin{cases} 2x - y + 3 = 0 \\ -x + 2y - 2 = 0 \end{cases}$
解得 $x = -\frac{4}{3}$ ， $y = \frac{1}{3}$

答案：驻点为 $(-\frac{4}{3}, \frac{1}{3})$

练习2

求函数 $f(x, y) = e^{-(x^2+y^2)}$ 的驻点，并判断是否可能为极值点。

参考答案

驻点极值指数函数

$f_x = -2x e^{-(x^2+y^2)}$ ， $f_y = -2y e^{-(x^2+y^2)}$
令 $f_x = f_y = 0$ ，由于 $e^{-(x^2+y^2)} > 0$ ，故 $x = 0, y = 0$
驻点为 $(0,0)$ ， $f(0,0) = 1$
对任意 $(x,y) \neq (0,0)$ ， $f(x,y) = e^{-(x^2+y^2)} < 1 = f(0,0)$
故 $(0,0)$ 是极大值点，极大值为 $1$ 。

答案：驻点为 $(0,0)$ ，是极大值点（极大值为1）。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$P_0$	点	point zero	极值点
$\nabla f$	梯度	gradient	函数的梯度
$\vec{0}$	零向量	zero vector	零向量

中英对照

中文术语	英文术语	音标
极值	extremum	/ɪkˈstriːməm/
极大值	local maximum	/ˈloʊkəl ˈmæksɪməm/
极小值	local minimum	/ˈloʊkəl ˈmɪnɪməm/
极值点	extremum point	/ɪkˈstriːməm pɔɪnt/
驻点	stationary point	/ˈsteɪʃəneri pɔɪnt/
临界点	critical point	/ˈkrɪtɪkəl pɔɪnt/
鞍点	saddle point	/ˈsædəl pɔɪnt/
必要条件	necessary condition	/ˈnɛsəˌsɛri kənˈdɪʃən/
费马定理	Fermat’s theorem	/fɛrˈmɑːz ˈθɪərəm/
局部极值	local extremum	/ˈloʊkəl ɪkˈstriːməm/

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