偏导数

偏导数的定义

偏导数

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某个邻域内有定义，如果极限：

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$

存在，则称此极限为函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作：

$f_x(x_0, y_0) \quad \text{或} \quad \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0, y_0)}$

类似地，对 $y$ 的偏导数定义为：

$f_y(x_0, y_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}$

偏导数的几何意义

$f_x(x_0, y_0)$ ：表示曲面 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ 处沿 $x$ 轴方向的切线斜率
$f_y(x_0, y_0)$ ：表示曲面 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ 处沿 $y$ 轴方向的切线斜率

偏导数的计算

计算偏导数时，将其他变量视为常数，按一元函数求导法则进行计算。

偏导数计算法则

\begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial x}(c) = 0 && \text{(常数)} \\ &\frac{\partial}{\partial x}(x) = 1 && \text{(自身)} \\ &\frac{\partial}{\partial x}(x^n) = nx^{n-1} && \text{(幂函数)} \\ &\frac{\partial}{\partial x}(e^x) = e^x && \text{(指数函数)} \\ &\frac{\partial}{\partial x}(\ln x) = \frac{1}{x} && \text{(对数函数)} \\ &\frac{\partial}{\partial x}(\sin x) = \cos x && \text{(三角函数)} \end{aligned}

计算示例

求 $f(x, y) = x^2y + y^3$ 的偏导数。

解：对 $x$ 求偏导： $f_x = 2xy$ 对 $y$ 求偏导： $f_y = x^2 + 3y^2$

高阶偏导数

二阶偏导数

二阶偏导数的定义

\begin{aligned} &\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) \\ &\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) \\ &\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) \end{aligned}

混合偏导数的相等性

定理 1

如果函数 $f(x, y)$ 的二阶混合偏导数 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处连续，则：

$f_{xy}(x_0, y_0) = f_{yx}(x_0, y_0)$

复合函数的偏导数

链式法则

复合函数偏导数

设 $z = f(u, v)$ ， $u = u(x, y)$ ， $v = v(x, y)$ ，则：

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$

练习题

练习 1

求 $f(x, y) = x^2y + y^3$ 的偏导数。

参考答案 (3 个标签)

偏导数计算基本运算

解题思路：计算偏导数时，将其他变量视为常数。

详细步骤：

对 $x$ 求偏导： $f_x = 2xy$
对 $y$ 求偏导： $f_y = x^2 + 3y^2$

答案： $f_x = 2xy$ ， $f_y = x^2 + 3y^2$

练习 2

求 $f(x, y) = e^{xy}$ 的所有二阶偏导数。

参考答案 (3 个标签)

高阶偏导数混合偏导数指数函数

解题思路：先求一阶偏导数，再对一阶偏导数求偏导得到二阶偏导数。

详细步骤：

一阶偏导数： $f_x = ye^{xy}$ ， $f_y = xe^{xy}$
二阶偏导数： $f_{xx} = y^2e^{xy}$ $f_{yy} = x^2e^{xy}$ $f_{xy} = e^{xy} + xye^{xy} = (1 + xy)e^{xy}$ $f_{yx} = e^{xy} + xye^{xy} = (1 + xy)e^{xy}$

答案： $f_{xx} = y^2e^{xy}$ ， $f_{yy} = x^2e^{xy}$ ， $f_{xy} = f_{yx} = (1 + xy)e^{xy}$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\frac{\partial f}{\partial x}$	偏导数	partial derivative	对 x 的偏导数
$f_x$	偏导数简记	f sub x	f 对 x 的偏导数
$f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}$	二阶偏导数	second partial derivatives	二阶偏导数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
偏导数	partial derivative	/ˈpɑːrʃəl dɪˈrɪvətɪv/	多元函数对某个变量的导数
高阶偏导数	higher-order partial derivative	/ˈhaɪər ˈɔːrdər ˈpɑːrʃəl dɪˈrɪvətɪv/	偏导数的导数
混合偏导数	mixed partial derivative	/mɪkst ˈpɑːrʃəl dɪˈrɪvətɪv/	包含不同变量的偏导数
链式法则	chain rule	/tʃeɪn ruːl/	复合函数求导法则

上一章节多元函数的基本概念学习多元函数的定义、极限、连续性等基本概念。下一章节全微分学习全微分的定义、可微性条件和几何意义。

课程路线图

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函数是高等数学的核心概念，本系列文档系统介绍函数的基本概念、性质和应用。
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数列是高等数学的基石，本系列文档系统介绍数列的基本概念、性质、极限理论及其应用。
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