多元函数的极值

极值的定义

极值

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某个邻域内有定义，如果存在 $\delta > 0$ ，使得对于该邻域内异于 $(x_0, y_0)$ 的任何点 $(x, y)$ ，都有：

$f(x, y) < f(x_0, y_0) \quad (\text{极大值})$

或

$f(x, y) > f(x_0, y_0) \quad (\text{极小值})$

则称 $f(x_0, y_0)$ 是函数 $f(x, y)$ 的极大值（或极小值）。

驻点

如果函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的一阶偏导数都为零，即：

$f_x(x_0, y_0) = 0, \quad f_y(x_0, y_0) = 0$

则称 $(x_0, y_0)$ 为函数的驻点。

极值的必要条件

定理 1

如果函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处有极值，且一阶偏导数存在，则：

$f_x(x_0, y_0) = 0, \quad f_y(x_0, y_0) = 0$

驻点的求法

求多元函数的极值，首先求驻点：

解方程组： $\begin{cases} f_x = 0 \\ f_y = 0 \end{cases}$
求出所有解，这些就是可能的极值点

极值的充分条件

二阶偏导数判别法

定理 2

设函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处有二阶连续偏导数，且 $f_x(x_0, y_0) = 0$ ， $f_y(x_0, y_0) = 0$ ，记：

$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$

若 $D > 0$ 且 $f_{xx} > 0$ ，则 $(x_0, y_0)$ 为极小值点
若 $D > 0$ 且 $f_{xx} < 0$ ，则 $(x_0, y_0)$ 为极大值点
若 $D < 0$ ，则 $(x_0, y_0)$ 为鞍点
若 $D = 0$ ，则无法判断

求极值的步骤

求一阶偏导数：计算 $f_x, f_y$
解方程组：解 $\begin{cases} f_x = 0 \\ f_y = 0 \end{cases}$ 得到驻点
验证二阶偏导数：计算 $f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}$ 在各驻点处的值
应用判别法：计算 $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ 并判断

应用示例

物理中的应用

在物理学中，极值问题经常出现在：

最小势能原理
最大熵原理
最短路径问题

经济学应用

在经济学中，极值用于：

最大化利润
最小化成本
效用最大化

练习题

练习 1

求函数 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 6$ 的极值。

参考答案 (3 个标签)

极值驻点判别法

解题思路：求驻点，然后用二阶偏导数判别法判断极值类型。

详细步骤：

计算偏导数： $f_x = 2x - 2$ ， $f_y = 2y - 4$
解方程组： $\begin{cases} 2x - 2 = 0 \\ 2y - 4 = 0 \end{cases}$ 得 $(x, y) = (1, 2)$
计算二阶偏导数： $f_{xx} = 2$ ， $f_{yy} = 2$ ， $f_{xy} = 0$ $D = 2 \times 2 - 0 = 4 > 0$ ， $f_{xx} = 2 > 0$
因此点 $(1, 2)$ 是极小值点，极小值 $f(1, 2) = 1 + 4 - 2 - 8 + 6 = 1$

答案：在点 $(1, 2)$ 处取得极小值 1

练习 2

求函数 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ 的极值。

参考答案 (3 个标签)

极值鞍点判别法

解题思路：求驻点并判断极值类型。

详细步骤：

计算偏导数： $f_x = 3x^2 - 3y$ ， $f_y = 3y^2 - 3x$
解方程组： $\begin{cases} 3x^2 - 3y = 0 \\ 3y^2 - 3x = 0 \end{cases}$ 化简： $\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ y^2 - x = 0 \end{cases}$ 解得 $(0, 0)$
计算二阶偏导数： $f_{xx} = 6x$ ， $f_{yy} = 6y$ ， $f_{xy} = -3$ 在 $(0, 0)$ 处： $f_{xx} = 0$ ， $f_{yy} = 0$ ， $f_{xy} = -3$ $D = 0 \times 0 - (-3)^2 = -9 < 0$
因此点 $(0, 0)$ 是鞍点

答案：在点 $(0, 0)$ 处为鞍点

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$D$	判别式	discriminant	二阶偏导数判别式
极大值	maximum	local maximum	局部极大值
极小值	minimum	local minimum	局部极小值
鞍点	saddle point	saddle point	函数的鞍点

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
极值	extreme value	/ɪkˈstriːm ˈvæljuː/	函数的极大值或极小值
驻点	stationary point	/ˈsteɪʃəneri pɔɪnt/	一阶偏导数为零的点
判别法	discriminant method	/dɪˈskrɪmɪnənt ˈmɛθəd/	判断极值类型的法则
鞍点	saddle point	/ˈsædl pɔɪnt/	函数的鞍点

上一章节梯度与散度学习梯度的定义、性质和几何意义，以及散度的概念。下一章节条件极值与拉格朗日乘数法学习条件极值的概念和拉格朗日乘数法及其应用。

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