拉格朗日乘数法

1. 约束 $\varphi(x,y) = x+y-1 = 0$
2. 拉格朗日函数：$L = xy + \lambda(x+y-1)$
3. $L_x = y+\lambda=0, L_y = x+\lambda=0, L_\lambda = x+y-1=0$
4. 由前两式：$x = y = -\lambda$，代入第三式：$2x=1$，$x=y=\frac{1}{2}$
5. 驻点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$，$f(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$
6. 判断：将 $y=1-x$ 代入得 $f=x(1-x)=x-x^2$，这是开口向下的抛物线，在 $x=\frac{1}{2}$ 处取最大值 $\frac{1}{4}$。

答案：条件极大值为 $\frac{1}{4}$（在 $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 处），无条件极小值（当 $x\to\pm\infty$ 时 $f\to-\infty$）。

1. 约束 $\varphi = x^2+y^2-1=0$，$\psi = x+z-1=0$
2. $L = xyz + \lambda(x^2+y^2-1) + \mu(x+z-1)$
3. $L_x = yz + 2\lambda x + \mu = 0$ $L_y = xz + 2\lambda y = 0$ $L_z = xy + \mu = 0$ $L_\lambda = x^2+y^2-1 = 0$ $L_\mu = x+z-1 = 0$
4. 由 $L_z=0$：$\mu = -xy$
5. 由 $L_y=0$：$xz = -2\lambda y$；若 $y\neq0$，$\lambda = -\frac{xz}{2y}$
6. 代入 $L_x=0$：$yz - \frac{x^2z}{y} - xy = 0$，即 $z(y^2-x^2) = xy^2$
7. 由 $z=1-x$ 和 $y^2=1-x^2$，代入化简可得具体解
8. 解得驻点：$(\frac{1}{2}, \pm\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$，$f = \pm\frac{\sqrt{3}}{8}$；以及 $(-1, 0, 2)$，$f=0$；$(1,0,0)$，$f=0$
9. 比较得：最大值 $\frac{\sqrt{3}}{8}$，最小值 $-\frac{\sqrt{3}}{8}$

答案：条件极大值为 $\frac{\sqrt{3}}{8}$（在 $(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$ 处），条件极小值为 $-\frac{\sqrt{3}}{8}$（在 $(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$ 处）。

1. 目标函数：距离平方 $f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2$（最小化距离等价于最小化距离平方）
2. 约束：$\varphi = x^2+y^2-1=0$，$\psi = x+y+z-1=0$
3. $L = x^2+y^2+z^2 + \lambda(x^2+y^2-1) + \mu(x+y+z-1)$
4. $L_x = 2x+2\lambda x+\mu=0$，$L_y = 2y+2\lambda y+\mu=0$，$L_z = 2z+\mu=0$
5. 由前两式：$2(x-y)(1+\lambda)=0$，故 $x=y$ 或 $\lambda=-1$
6. 若 $x=y$：由 $x^2+y^2=1$ 得 $x=y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$，$z=1\mp\sqrt{2}$
   • $(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},1-\sqrt{2})$：$f = 1 + (1-\sqrt{2})^2 = 4-2\sqrt{2}$
   • $(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},1+\sqrt{2})$：$f = 1 + (1+\sqrt{2})^2 = 4+2\sqrt{2}$
7. 若 $\lambda=-1$：由 $L_x=0$ 得 $\mu=0$，由 $L_z=0$ 得 $z=0$，由 $x+y=1$ 和 $x^2+y^2=1$ 得 $xy=0$，即 $(1,0,0)$ 或 $(0,1,0)$，$f=1$
8. 比较：最短距离 $=1$，最长距离 $=\sqrt{4+2\sqrt{2}}$

答案：最短距离为 $1$，最长距离为 $\sqrt{4+2\sqrt{2}}$。

1. $L = x^2+y^2 + \lambda(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}-1)$
2. $L_x = 2x+\frac{\lambda}{a}=0, L_y = 2y+\frac{\lambda}{b}=0$
3. $x = -\frac{\lambda}{2a}, y = -\frac{\lambda}{2b}$，代入约束：$-\frac{\lambda}{2a^2}-\frac{\lambda}{2b^2}=1$，$\lambda = -\frac{2a^2b^2}{a^2+b^2}$
4. $x = \frac{ab^2}{a^2+b^2}, y = \frac{a^2b}{a^2+b^2}$
5. 最小值 $f = \frac{a^2b^4+a^4b^2}{(a^2+b^2)^2} = \frac{a^2b^2}{a^2+b^2}$

答案：最小值为 $\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}$（这是原点到直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 的距离的平方）。

1. 设长宽高为 $x,y,z$，目标 $V=xyz$，约束 $2(xy+yz+xz)=a^2$
2. $L = xyz + \lambda(2xy+2yz+2xz-a^2)$
3. $L_x = yz+2\lambda(y+z)=0$，$L_y = xz+2\lambda(x+z)=0$，$L_z = xy+2\lambda(x+y)=0$
4. 由前两式：$yz(x+z) = xz(y+z)$，化简得 $x=y$；同理 $y=z$
5. 故 $x=y=z$，代入约束：$6x^2=a^2$，$x=\frac{a}{\sqrt{6}}$
6. 最大体积 $V = (\frac{a}{\sqrt{6}})^3 = \frac{a^3}{6\sqrt{6}}$

答案：最大体积为 $\frac{a^3}{6\sqrt{6}}$（当长方体为正方体时）。