全微分的定义与可微性

全微分的定义

全微分

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内有定义，如果函数在点 $(x_0, y_0)$ 处的全增量

$\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)$

可以表示为

$\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$

其中 $A, B$ 不依赖于 $\Delta x, \Delta y$ ， $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ ，则称函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微，而 $A\Delta x + B\Delta y$ 称为函数在点 $(x_0, y_0)$ 处的全微分，记作

$dz = A\Delta x + B\Delta y \quad \text{或} \quad df = A\Delta x + B\Delta y$

全微分是全增量的线性主部，当 $\rho \to 0$ 时， $\Delta z - dz = o(\rho)$ 是比 $\rho$ 高阶的无穷小。

全微分的表达式

定理1

可微的必要条件：如果函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微，则该函数在该点的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 必存在，且

$A = \frac{\partial z}{\partial x}, \quad B = \frac{\partial z}{\partial y}$

因此全微分为：

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$

其中 $dx = \Delta x$ ， $dy = \Delta y$ 是自变量的微分。

类似地，三元函数 $u = f(x, y, z)$ 的全微分为：

$du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy + \frac{\partial u}{\partial z} dz$

可微的充分条件

定理2

可微的充分条件：如果函数 $z = f(x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x, y)$ 的某邻域内存在，且这两个偏导数在点 $(x, y)$ 处连续，则函数在该点可微。

可微的判定思路

先求偏导数，如果偏导数不存在，则不可微。
如果偏导数存在且连续，则可微（充分条件）。
如果偏导数存在但不连续，需要用定义验证：计算 $\lim_{\rho\to0} \frac{\Delta z - f_x\Delta x - f_y\Delta y}{\rho}$ ，若极限为0则可微，否则不可微。

可微、可导、连续的关系

多元函数中三者的关系

（与一元函数不同！）

偏导数连续 ⇒ 可微 ⇒ { 偏导数存在
                      { 函数连续

可微 ⇒ 偏导数存在：可微的必要条件
可微 ⇒ 连续：可微必连续（因为 $\Delta z \to 0$ ）
偏导数存在 ⇏ 可微：偏导数存在只是可微的必要条件，不是充分条件
偏导数存在 ⇏ 连续：偏导数存在不一定连续（经典反例见下）
连续 ⇏ 偏导数存在：连续不一定可导
偏导数连续 ⇒ 可微：可微的充分条件

经典反例： $f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}$ 在 $(0,0)$ 处偏导数存在（ $f_x=f_y=0$ ），但函数不连续（极限不存在），故不可微。

典型例题

例题1：求全微分

求 $z = x^2 y + y^2$ 的全微分。

参考答案

全微分偏导数计算

详细步骤：

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy$
$\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 2y$
$dz = 2xy \, dx + (x^2 + 2y) \, dy$

答案： $dz = 2xy \, dx + (x^2+2y) \, dy$

例题2：讨论可微性

讨论 $f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2 y}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}$ 在 $(0,0)$ 处的可微性。

参考答案

可微性定义法偏导数存在可微但偏导不连续

详细步骤：

偏导数： $f_x(0,0) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(\Delta x,0)-0}{\Delta x} = 0$ ，同理 $f_y(0,0) = 0$
用定义验证可微性： $\Delta z - f_x\Delta x - f_y\Delta y = \frac{(\Delta x)^2 \Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$
$\left|\frac{(\Delta x)^2 \Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right| \leq \frac{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}{2} \cdot \frac{|\Delta y|}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} = \frac{|\Delta y|}{2} \leq \frac{\rho}{2} \to 0$
因此 $\lim_{\rho\to0} \frac{\Delta z - 0}{\rho} = 0$ ，函数在 $(0,0)$ 处可微。
但可以验证偏导数在 $(0,0)$ 处不连续（ $f_x$ 在原点极限不存在）。

答案：函数在 $(0,0)$ 处可微，但偏导数在该点不连续。这说明偏导数连续只是可微的充分条件，不是必要条件。

例题3：三元函数的全微分

求 $u = \ln(x^2 + y^2 + z^2)$ 的全微分。

参考答案

全微分三元函数偏导数

详细步骤：

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x}{x^2+y^2+z^2}$
$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2y}{x^2+y^2+z^2}$
$\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{2z}{x^2+y^2+z^2}$
$du = \frac{2}{x^2+y^2+z^2}(x \, dx + y \, dy + z \, dz)$

答案： $du = \frac{2(x\,dx+y\,dy+z\,dz)}{x^2+y^2+z^2}$

练习题

练习1

求 $z = e^{xy} + \sin(x^2 + y)$ 的全微分。

参考答案

全微分偏导数复合函数

详细步骤：

$\frac{\partial z}{\partial x} = ye^{xy} + 2x\cos(x^2+y)$
$\frac{\partial z}{\partial y} = xe^{xy} + \cos(x^2+y)$
$dz = [ye^{xy}+2x\cos(x^2+y)]dx + [xe^{xy}+\cos(x^2+y)]dy$

答案： $dz = [ye^{xy}+2x\cos(x^2+y)]dx + [xe^{xy}+\cos(x^2+y)]dy$

练习2

证明 $f(x,y) = \sqrt{|xy|}$ 在 $(0,0)$ 处偏导数存在但不可微。

参考答案

可微性偏导数存在不可微反例

详细步骤：

$f_x(0,0) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{\sqrt{|\Delta x \cdot 0|}-0}{\Delta x} = 0$ ，同理 $f_y(0,0) = 0$
若可微，则 $\lim_{\rho\to0} \frac{\Delta z}{\rho} = 0$
取 $\Delta x = \Delta y = t > 0$ ，则 $\rho = \sqrt{2}t$ ， $\Delta z = \sqrt{t^2} = t$
$\frac{\Delta z}{\rho} = \frac{t}{\sqrt{2}t} = \frac{1}{\sqrt{2}} \neq 0$
故不可微。

答案：偏导数存在（均为0），但不可微。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$dz$	全微分	total differential	二元函数的全微分
$du$	全微分	total differential	三元函数的全微分
$\Delta z$	全增量	total increment	函数的全增量
$\rho$	距离	rho	$\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$
$o(\rho)$	高阶无穷小	little o of rho	比 $\rho$ 高阶的无穷小
$dx, dy$	自变量微分	differential	自变量的微分

中英对照

中文术语	英文术语	音标
全微分	total differential	/ˈtoʊtl ˌdɪfəˈrɛnʃəl/
全增量	total increment	/ˈtoʊtl ˈɪŋkrəmənt/
可微	differentiable	/ˌdɪfəˈrɛnʃiəbəl/
可微性	differentiability	/ˌdɪfəˌrɛnʃiəˈbɪləti/
线性主部	principal linear part	/ˈprɪnsəpəl ˈlɪniər pɑːrt/
必要条件	necessary condition	/ˈnɛsəˌsɛri kənˈdɪʃən/
充分条件	sufficient condition	/səˈfɪʃənt kənˈdɪʃən/
高阶无穷小	infinitesimal of higher order	/ˌɪnfɪnɪˈtɛsɪməl əv ˈhaɪər ˈɔːrdər/

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