极值的计算与应用

1. 设水箱长、宽、高分别为 $x, y, z$，体积 $xyz = 2$，表面积 $S = 2(xy + yz + xz)$
2. 由 $z = \frac{2}{xy}$，得 $S(x,y) = 2(xy + \frac{2}{x} + \frac{2}{y})$（$x>0, y>0$）
3. $S_x = 2(y - \frac{2}{x^2})$，$S_y = 2(x - \frac{2}{y^2})$
4. 令 $S_x = S_y = 0$：$y = \frac{2}{x^2}$，$x = \frac{2}{y^2}$
5. 代入得 $x = \frac{2}{(2/x^2)^2} = \frac{x^4}{2}$，即 $x^3 = 2$，$x = \sqrt[3]{2}$
6. 同理 $y = \sqrt[3]{2}$，$z = \frac{2}{xy} = \frac{2}{(\sqrt[3]{2})^2} = \sqrt[3]{2}$
7. 由实际意义，表面积最小值存在且唯一，故当长=宽=高=$\sqrt[3]{2}\text{m}$ 时材料最省。

答案：当水箱为边长 $\sqrt[3]{2}\text{m}$ 的正方体时，所用材料最省。

1. 设长方体在第一卦限的顶点为 $(x,y,z)$，则体积 $V = 8xyz$
2. 由椭球面方程，$z = c\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}$
3. $V(x,y) = 8cxy\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}$
4. 为方便计算，最大化 $V^2 = 64c^2x^2y^2(1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2})$
5. 令 $u = x^2, v = y^2$，最大化 $f(u,v) = uv(1-\frac{u}{a^2}-\frac{v}{b^2})$
6. $f_u = v(1-\frac{2u}{a^2}-\frac{v}{b^2})$，$f_v = u(1-\frac{u}{a^2}-\frac{2v}{b^2})$
7. 令 $f_u=f_v=0$，解得 $u = \frac{a^2}{3}, v = \frac{b^2}{3}$
8. $x = \frac{a}{\sqrt{3}}, y = \frac{b}{\sqrt{3}}, z = \frac{c}{\sqrt{3}}$
9. 最大体积 $V = 8 \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{b}{\sqrt{3}} \cdot \frac{c}{\sqrt{3}} = \frac{8abc}{3\sqrt{3}}$

答案：最大体积为 $\frac{8abc}{3\sqrt{3}}$。

1. $S(a,b) = \sum_{i=1}^n (y_i - ax_i - b)^2$
2. $\frac{\partial S}{\partial a} = -2\sum_{i=1}^n x_i(y_i - ax_i - b)$，$\frac{\partial S}{\partial b} = -2\sum_{i=1}^n (y_i - ax_i - b)$
3. 令偏导数为零： $\begin{cases} a\sum x_i^2 + b\sum x_i = \sum x_i y_i \\ a\sum x_i + nb = \sum y_i \end{cases}$
4. 解得： $a = \frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}$ $b = \frac{(\sum y_i)(\sum x_i^2) - (\sum x_i)(\sum x_i y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}$
5. 黑塞矩阵 $H = \begin{pmatrix} 2\sum x_i^2 & 2\sum x_i \\ 2\sum x_i & 2n \end{pmatrix}$，当 $x_i$ 不全相等时正定，故为最小值点。

答案：最小二乘直线的斜率和截距由上述公式给出，这就是线性回归的正规方程。

1. 内部驻点：$f_x = 2x-2y, f_y = -2x+2$，令为零得 $x=1, y=1$，$f(1,1)=1$
2. 边界 $y=0$（$0\leq x\leq3$）：$f=x^2$，最小值 $f(0,0)=0$，最大值 $f(3,0)=9$
3. 边界 $y=2$（$0\leq x\leq3$）：$f=x^2-4x+4=(x-2)^2$，最小值 $f(2,2)=0$，最大值 $f(0,2)=4$
4. 边界 $x=0$（$0\leq y\leq2$）：$f=2y$，最小值 $f(0,0)=0$，最大值 $f(0,2)=4$
5. 边界 $x=3$（$0\leq y\leq2$）：$f=9-6y+2y=9-4y$，最小值 $f(3,2)=1$，最大值 $f(3,0)=9$
6. 比较所有值：最大值为 $9$（在 $(3,0)$ 处），最小值为 $0$（在 $(0,0)$ 和 $(2,2)$ 处）

答案：最大值为 $f(3,0)=9$，最小值为 $f(0,0)=f(2,2)=0$。

1. 设底半径 $r$，高 $h$，体积 $\pi r^2 h = V$，表面积 $S = \pi r^2 + 2\pi rh$
2. $h = \frac{V}{\pi r^2}$，$S(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}$
3. $S'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}$，令 $S'=0$：$r^3 = \frac{V}{\pi}$，$r = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$
4. $h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{V}{\pi (V/\pi)^{2/3}} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}} = r$
5. $S''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3} > 0$，故为最小值

答案：当底半径 $r = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$，高 $h = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$（即高等于底半径）时用料最省。

1. 内部驻点：$f_x=y, f_y=x$，驻点 $(0,0)$，$f(0,0)=0$
2. 边界 $x^2+y^2=1$：令 $x=\cos\theta, y=\sin\theta$，$f=\cos\theta\sin\theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta$
3. 边界上最大值为 $\frac{1}{2}$（$\theta=\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$），最小值为 $-\frac{1}{2}$（$\theta=\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$）
4. 比较得：最大值 $\frac{1}{2}$，最小值 $-\frac{1}{2}$

答案：最大值为 $\frac{1}{2}$（在 $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$ 和 $(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$ 处），最小值为 $-\frac{1}{2}$（在 $(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$ 和 $(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$ 处）。