全微分在近似计算与误差估计中的应用

近似计算

基本公式

当函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微，且 $|\Delta x|, |\Delta y|$ 很小时，有

$\Delta z \approx dz = f_x(x_0, y_0)\Delta x + f_y(x_0, y_0)\Delta y$

即

$f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) \approx f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)\Delta x + f_y(x_0, y_0)\Delta y$

使用步骤：

选择合适的点 $(x_0, y_0)$ ，使得 $f(x_0,y_0)$ 和偏导数容易计算。
确定 $\Delta x = x - x_0$ ， $\Delta y = y - y_0$ ，要求 $|\Delta x|, |\Delta y|$ 较小。
计算 $f(x_0,y_0)$ ， $f_x(x_0,y_0)$ ， $f_y(x_0,y_0)$ 。
代入近似公式计算。

常用近似公式

当 $|x|, |y|$ 很小时（取 $x_0=0, y_0=0$ ）：

$(1+x)^m(1+y)^n \approx 1 + mx + ny$

$\sin(x+y) \approx x + y$

$e^{x+y} \approx 1 + x + y$

$\ln(1+x+y) \approx x + y$

误差估计

绝对误差与相对误差

误差估计公式

设 $z = f(x, y)$ ， $x, y$ 的绝对误差限分别为 $\delta_x, \delta_y$ ，即 $|\Delta x| \leq \delta_x$ ， $|\Delta y| \leq \delta_y$ ，则 $z$ 的

绝对误差限： $\delta_z = |f_x|\delta_x + |f_y|\delta_y$

相对误差限： $\frac{\delta_z}{|z|} = \left|\frac{f_x}{f}\right|\delta_x + \left|\frac{f_y}{f}\right|\delta_y$

误差传递的直观理解：

绝对误差 = 各偏导数的绝对值 × 对应自变量的绝对误差，然后求和。
相对误差 = 各变量的相对误差乘以该变量对函数的”弹性”（ $\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{x}{z}$ ），然后求和。
对于乘积 $z = xy$ ：相对误差 = 相对误差之和，即 $\frac{\delta_z}{|z|} = \frac{\delta_x}{|x|} + \frac{\delta_y}{|y|}$ 。
对于商 $z = \frac{x}{y}$ ：相对误差同样 = 相对误差之和。

典型例题

例题1：近似计算

利用全微分近似计算 $\sqrt{(1.02)^3 + (1.97)^3}$ 。

参考答案(3 个标签)

近似计算全微分数值计算

详细步骤：

设 $f(x,y) = \sqrt{x^3 + y^3}$ ，取 $x_0=1, y_0=2$ ，则 $\Delta x=0.02, \Delta y=-0.03$
$f(1,2) = \sqrt{1+8} = 3$
$f_x = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3+y^3}}$ ， $f_x(1,2) = \frac{3}{2\times3} = \frac{1}{2}$
$f_y = \frac{3y^2}{2\sqrt{x^3+y^3}}$ ， $f_y(1,2) = \frac{12}{6} = 2$
$f(1.02,1.97) \approx 3 + \frac{1}{2}\times0.02 + 2\times(-0.03) = 3 + 0.01 - 0.06 = 2.95$

答案： $\sqrt{(1.02)^3+(1.97)^3} \approx 2.95$ （精确值约为2.951）

例题2：误差估计

设矩形的长 $x = 5\text{m}$ ，宽 $y = 3\text{m}$ ，测量长和宽的绝对误差均为 $0.01\text{m}$ ，求矩形面积的绝对误差和相对误差。

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误差估计绝对误差相对误差矩形面积

详细步骤：

面积 $S = xy$
$S_x = y = 3$ ， $S_y = x = 5$
绝对误差： $\delta_S = |S_x|\delta_x + |S_y|\delta_y = 3\times0.01 + 5\times0.01 = 0.08 \text{ m}^2$
面积 $S = 5\times3 = 15 \text{ m}^2$
相对误差： $\frac{\delta_S}{S} = \frac{0.08}{15} \approx 0.0053 = 0.53\%$

答案：绝对误差约为 $0.08\text{ m}^2$ ，相对误差约为 $0.53\%$

例题3：物理量的误差估计

利用单摆测重力加速度 $g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$ ，已测得摆长 $l = 100\text{cm}$ ，周期 $T = 2\text{s}$ ，若 $l$ 的绝对误差为 $0.1\text{cm}$ ， $T$ 的绝对误差为 $0.004\text{s}$ ，求 $g$ 的绝对误差和相对误差。

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误差估计物理应用重力加速度单摆

详细步骤：

$g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$
$\frac{\partial g}{\partial l} = \frac{4\pi^2}{T^2}$ ， $\frac{\partial g}{\partial T} = -\frac{8\pi^2 l}{T^3}$
在 $l=100, T=2$ 处： $\frac{\partial g}{\partial l} = \pi^2$ ， $\left|\frac{\partial g}{\partial T}\right| = \frac{8\pi^2 \times 100}{8} = 100\pi^2$
绝对误差： $\delta_g = \pi^2 \times 0.1 + 100\pi^2 \times 0.004 = 0.1\pi^2 + 0.4\pi^2 = 0.5\pi^2 \approx 4.93 \text{ cm/s}^2$
$g = \frac{4\pi^2 \times 100}{4} = 100\pi^2 \approx 986.96 \text{ cm/s}^2$
相对误差： $\frac{\delta_g}{g} = \frac{0.5\pi^2}{100\pi^2} = 0.005 = 0.5\%$

答案：绝对误差约为 $4.93\text{ cm/s}^2$ ，相对误差约为 $0.5\%$

练习题

练习1

利用全微分近似计算 $(1.04)^{2.02}$ 。

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近似计算全微分幂指函数

详细步骤：

设 $f(x,y) = x^y$ ，取 $x_0=1, y_0=2$ ， $\Delta x=0.04, \Delta y=0.02$
$f(1,2) = 1$
$f_x = yx^{y-1}$ ， $f_x(1,2) = 2$
$f_y = x^y \ln x$ ， $f_y(1,2) = 0$
$f(1.04,2.02) \approx 1 + 2\times0.04 + 0\times0.02 = 1.08$

答案： $(1.04)^{2.02} \approx 1.08$ （精确值约为1.0824）

练习2

设圆柱体的半径 $r = 5\text{cm}$ ，高 $h = 10\text{cm}$ ，若半径和高的绝对误差均为 $0.1\text{cm}$ ，求圆柱体体积的绝对误差和相对误差。

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误差估计圆柱体体积绝对误差相对误差

详细步骤：

体积 $V = \pi r^2 h$
$V_r = 2\pi rh$ ， $V_h = \pi r^2$
在 $r=5, h=10$ 处： $V_r = 100\pi$ ， $V_h = 25\pi$
绝对误差： $\delta_V = 100\pi \times 0.1 + 25\pi \times 0.1 = 12.5\pi \approx 39.27 \text{ cm}^3$
$V = \pi \times 25 \times 10 = 250\pi \text{ cm}^3$
相对误差： $\frac{\delta_V}{V} = \frac{12.5\pi}{250\pi} = 0.05 = 5\%$

答案：绝对误差约为 $39.27\text{ cm}^3$ ，相对误差约为 $5\%$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\delta_x$	绝对误差限	delta x	x 的绝对误差限
$\delta_z$	绝对误差限	delta z	z 的绝对误差限
$\Delta x$	增量	delta x	x 的增量
$x_0, y_0$	基准点	x zero, y zero	近似计算的基准点

中英对照

中文术语	英文术语	音标
近似计算	approximate calculation	/əˈprɒksɪmət ˌkælkjuˈleɪʃən/
误差估计	error estimation	/ˈɛrər ˌɛstɪˈmeɪʃən/
绝对误差	absolute error	/ˈæbsəluːt ˈɛrər/
相对误差	relative error	/ˈrɛlətɪv ˈɛrər/
绝对误差限	absolute error bound	/ˈæbsəluːt ˈɛrər baʊnd/
相对误差限	relative error bound	/ˈrɛlətɪv ˈɛrər baʊnd/
误差传递	error propagation	/ˈɛrər ˌprɒpəˈɡeɪʃən/
局部线性化	local linearization	/ˈloʊkəl ˌlɪniəraɪˈzeɪʃən/

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