偏导数的计算与复合函数求导

偏导数的基本计算

计算偏导数时，将其他自变量视为常数，按一元函数求导法则进行。基本求导公式与一元函数完全相同。

常用求导公式

$\frac{\partial}{\partial x}(c) = 0, \quad \frac{\partial}{\partial x}(x^n) = nx^{n-1}, \quad \frac{\partial}{\partial x}(e^x) = e^x$ $\frac{\partial}{\partial x}(\ln x) = \frac{1}{x}, \quad \frac{\partial}{\partial x}(\sin x) = \cos x, \quad \frac{\partial}{\partial x}(\cos x) = -\sin x$

复合函数求导法则（链式法则）

情形一：中间变量为一元函数

定理1

设 $z = f(u, v)$ ， $u = u(t)$ ， $v = v(t)$ ，则复合函数 $z = f(u(t), v(t))$ 对 $t$ 的导数（全导数）为：

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{du}{dt} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{dv}{dt}$

几何解释

推论

证明

符号说明

情形二：中间变量为二元函数

定理2

设 $z = f(u, v)$ ， $u = u(x, y)$ ， $v = v(x, y)$ ，则复合函数 $z = f(u(x,y), v(x,y))$ 的偏导数为：

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$

几何解释

推论

证明

符号说明

链式法则的记忆口诀：“沿线相乘，分线相加”。从因变量到自变量的每条路径上的偏导数相乘，不同路径的结果相加。

变量关系图： $z \to u \to x$ ， $z \to u \to y$ ， $z \to v \to x$ ， $z \to v \to y$ 。

情形三：特殊情形

一个中间变量： $z = f(u, x, y)$ ， $u = u(x, y)$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial y}$ 注意 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 是将 $u$ 视为常数对 $x$ 求偏导，与 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 不同。
全导数推广： $z = f(u, v, w)$ ， $u=u(t), v=v(t), w=w(t)$ ，则 $\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt} + \frac{\partial z}{\partial w}\frac{dw}{dt}$

隐函数求导

一个方程的情形

定理3

设函数 $F(x, y, z) = 0$ 确定隐函数 $z = z(x, y)$ ，且 $F_z \neq 0$ ，则

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$

几何解释

推论

证明

符号说明

类似地， $F(x,y)=0$ 确定 $y=y(x)$ 时， $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ （ $F_y \neq 0$ ）。

推导方法

对方程 $F(x, y, z(x,y)) = 0$ 两边对 $x$ 求偏导：

$F_x + F_z \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}$

典型例题

例题1：复合函数求导

设 $z = e^u \sin v$ ， $u = xy$ ， $v = x + y$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 。

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复合函数链式法则偏导数

详细步骤：

$\frac{\partial z}{\partial u} = e^u \sin v$ ， $\frac{\partial z}{\partial v} = e^u \cos v$
$\frac{\partial u}{\partial x} = y$ ， $\frac{\partial u}{\partial y} = x$ ， $\frac{\partial v}{\partial x} = 1$ ， $\frac{\partial v}{\partial y} = 1$
$\frac{\partial z}{\partial x} = e^u \sin v \cdot y + e^u \cos v \cdot 1 = e^{xy}[y\sin(x+y) + \cos(x+y)]$
$\frac{\partial z}{\partial y} = e^u \sin v \cdot x + e^u \cos v \cdot 1 = e^{xy}[x\sin(x+y) + \cos(x+y)]$

答案： $\frac{\partial z}{\partial x} = e^{xy}[y\sin(x+y)+\cos(x+y)]$ ， $\frac{\partial z}{\partial y} = e^{xy}[x\sin(x+y)+\cos(x+y)]$

例题2：全导数

设 $z = \arctan(xy)$ ， $y = e^x$ ，求 $\frac{dz}{dx}$ 。

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全导数复合函数链式法则

详细步骤：

方法一：全导数公式

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{1+x^2y^2}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{1+x^2y^2}$ ， $\frac{dy}{dx} = e^x$
$\frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dx} = \frac{y}{1+x^2y^2} + \frac{x}{1+x^2y^2} \cdot e^x = \frac{e^x + xe^x}{1+x^2e^{2x}} = \frac{e^x(1+x)}{1+x^2e^{2x}}$

方法二：直接代入 $z = \arctan(xe^x)$ ， $\frac{dz}{dx} = \frac{(xe^x)'}{1+(xe^x)^2} = \frac{e^x + xe^x}{1+x^2e^{2x}}$

答案： $\frac{dz}{dx} = \frac{e^x(1+x)}{1+x^2e^{2x}}$

例题3：隐函数求导

设 $x^2 + y^2 + z^2 = 4z$ 确定 $z = z(x,y)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 。

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隐函数隐函数求导偏导数

详细步骤：

令 $F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4z$
$F_x = 2x$ ， $F_y = 2y$ ， $F_z = 2z - 4$
$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{2x}{2z-4} = \frac{x}{2-z}$
$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} = -\frac{2y}{2z-4} = \frac{y}{2-z}$

答案： $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{2-z}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{2-z}$

练习题

练习1

设 $z = u^2 \ln v$ ， $u = \frac{x}{y}$ ， $v = 3x - 2y$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 。

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复合函数链式法则偏导数

详细步骤：

$\frac{\partial z}{\partial u} = 2u\ln v$ ， $\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{u^2}{v}$
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{y}$ ， $\frac{\partial v}{\partial x} = 3$
$\frac{\partial z}{\partial x} = 2u\ln v \cdot \frac{1}{y} + \frac{u^2}{v} \cdot 3 = \frac{2x}{y^2}\ln(3x-2y) + \frac{3x^2}{y^2(3x-2y)}$

答案： $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{y^2}\ln(3x-2y) + \frac{3x^2}{y^2(3x-2y)}$

练习2

设 $e^z - xyz = 0$ 确定 $z = z(x,y)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 。

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隐函数隐函数求导

详细步骤：

令 $F(x,y,z) = e^z - xyz$
$F_x = -yz$ ， $F_z = e^z - xy$
$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = \frac{yz}{e^z - xy} = \frac{yz}{xyz - xy} = \frac{z}{x(z-1)}$ （利用 $e^z = xyz$ ）

答案： $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{yz}{e^z-xy} = \frac{z}{x(z-1)}$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\frac{dz}{dt}$	全导数	total derivative	复合函数对单一自变量的导数
$F_x, F_y, F_z$	偏导数	partial derivatives	隐函数方程对各变量的偏导数
$u, v, w$	中间变量	intermediate variables	复合函数的中间变量

中英对照

中文术语	英文术语	音标
复合函数	composite function	/kəmˈpɒzɪt ˈfʌŋkʃən/
链式法则	chain rule	/tʃeɪn ruːl/
全导数	total derivative	/ˈtoʊtl dɪˈrɪvətɪv/
隐函数	implicit function	/ɪmˈplɪsɪt ˈfʌŋkʃən/
隐函数求导	implicit differentiation	/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfərɛnʃiˈeɪʃən/
中间变量	intermediate variable	/ˌɪntərˈmiːdiət ˈvɛriəbəl/
自变量	independent variable	/ˌɪndɪˈpɛndənt ˈvɛriəbəl/

上一章节偏导数的定义与几何意义学习偏导数的定义、几何意义，以及偏导数存在与函数连续的关系。

下一章节高阶偏导数与混合偏导学习高阶偏导数的定义、混合偏导数相等的条件（克莱罗定理），以及常见计算技巧。