二阶导数判别法

黑塞矩阵

设函数 $z = f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，称矩阵

$H_f(x, y) = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$

为函数 $f$ 的黑塞矩阵（Hessian matrix）。

由于混合偏导数连续时 $f_{xy} = f_{yx}$ ，黑塞矩阵是对称矩阵。

对于 $n$ 元函数 $f(x_1, \ldots, x_n)$ ，黑塞矩阵为 $n \times n$ 矩阵：

$H_f = \begin{pmatrix} f_{x_1x_1} & f_{x_1x_2} & \cdots & f_{x_1x_n} \\ f_{x_2x_1} & f_{x_2x_2} & \cdots & f_{x_2x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{x_nx_1} & f_{x_nx_2} & \cdots & f_{x_nx_n} \end{pmatrix}$

二元函数的二阶导数判别法

定理1

极值的充分条件：设函数 $z = f(x, y)$ 在驻点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，令

$A = f_{xx}(x_0, y_0), \quad B = f_{xy}(x_0, y_0), \quad C = f_{yy}(x_0, y_0)$

判别式 $\Delta = AC - B^2$ ，则：

当 $\Delta > 0$ $Δ > 0$ 时，函数在 $(x_0, y_0)$ $(x_{0}, y_{0})$ 处取得极值：
- $A > 0$ （或 $C > 0$ ）时为极小值
- $A < 0$ （或 $C < 0$ ）时为极大值
当 $\Delta < 0$ 时，函数在 $(x_0, y_0)$ 处不是极值（鞍点）
当 $\Delta = 0$ 时，无法确定，需要用定义或其他方法进一步判断

几何解释

推论

证明

符号说明

判别法的直观理解（用黑塞矩阵的正定性）：

$\Delta > 0$ 且 $A > 0$ ⟺ 黑塞矩阵正定 ⟺ 极小值
$\Delta > 0$ 且 $A < 0$ ⟺ 黑塞矩阵负定 ⟺ 极大值
$\Delta < 0$ ⟺ 黑塞矩阵不定 ⟺ 鞍点
$\Delta = 0$ ⟺ 黑塞矩阵半正定/半负定 ⟺ 无法确定

这一结论可以推广到 $n$ 元函数：驻点处黑塞矩阵正定则为极小值点，负定则为极大值点，不定则为鞍点。

n元函数的二阶导数判别法

定理2

设 $n$ 元函数 $f$ 在驻点 $P_0$ 处具有二阶连续偏导数， $H_f(P_0)$ 为黑塞矩阵，则：

若 $H_f(P_0)$ 正定，则 $P_0$ 是极小值点
若 $H_f(P_0)$ 负定，则 $P_0$ 是极大值点
若 $H_f(P_0)$ 不定，则 $P_0$ 不是极值点（鞍点）
若 $H_f(P_0)$ 半正定或半负定，则无法确定

矩阵正定性的判定：所有顺序主子式大于0为正定；奇数阶顺序主子式小于0、偶数阶大于0为负定。

几何解释

推论

证明

符号说明

判别法失效的情形

当 $\Delta = 0$ 时，二阶导数判别法失效，需要用定义或更高阶导数判断。

$\Delta = 0$ 的典型例子：

$f(x,y) = x^4 + y^4$ 在 $(0,0)$ 处： $A=B=C=0$ ， $\Delta=0$ ，但实际是极小值点。
$f(x,y) = -x^4 - y^4$ 在 $(0,0)$ 处： $\Delta=0$ ，但是极大值点。
$f(x,y) = x^3 + y^3$ 在 $(0,0)$ 处： $\Delta=0$ ，但不是极值点。

这三个例子说明 $\Delta=0$ 时各种情况都可能发生，必须具体分析。

典型例题

例题1：求极值

求函数 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ 的极值。

参考答案(3 个标签)

极值二阶导数判别法驻点

由上节例题知驻点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$
二阶偏导数： $f_{xx} = 6x$ ， $f_{xy} = -3$ ， $f_{yy} = 6y$
在 $(0,0)$ 处： $A=0, B=-3, C=0$ ， $\Delta = 0\times0 - (-3)^2 = -9 < 0$ ，故 $(0,0)$ 不是极值点（鞍点）
在 $(1,1)$ 处： $A=6, B=-3, C=6$ ， $\Delta = 6\times6 - 9 = 27 > 0$ ，且 $A=6>0$ ，故 $(1,1)$ 是极小值点
极小值： $f(1,1) = 1+1-3 = -1$

答案：极小值为 $f(1,1) = -1$ ， $(0,0)$ 是鞍点。

例题2：判别法失效

求 $f(x, y) = x^4 + y^4 - x^2 - y^2$ 的极值。

参考答案(3 个标签)

极值高阶函数判别法

$f_x = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2-1)$ ， $f_y = 4y^3 - 2y = 2y(2y^2-1)$
令 $f_x=f_y=0$ ，解得 $x=0$ 或 $x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ ； $y=0$ 或 $y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$
驻点共9个： $(0,0), (0,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}), (\pm\frac{1}{\sqrt{2}},0), (\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\pm\frac{1}{\sqrt{2}})$
$f_{xx}=12x^2-2, f_{xy}=0, f_{yy}=12y^2-2$
在 $(\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\pm\frac{1}{\sqrt{2}})$ 处： $A=4, B=0, C=4, \Delta=16>0, A>0$ ，极小值 $f=-\frac{1}{2}$
在 $(0,\pm\frac{1}{\sqrt{2}})$ 和 $(\pm\frac{1}{\sqrt{2}},0)$ 处： $A=-2$ 或 $C=-2$ ， $\Delta=-4<0$ ，鞍点
在 $(0,0)$ 处： $A=-2, B=0, C=-2, \Delta=4>0, A<0$ ，极大值 $f(0,0)=0$

答案：极大值 $f(0,0)=0$ ；极小值 $f(\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\pm\frac{1}{\sqrt{2}})=-\frac{1}{2}$ （共4个极小值点）；其余4个为鞍点。

例题3：三元函数极值

求 $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 4y - 6z$ 的极值。

参考答案(4 个标签)

极值三元函数黑塞矩阵正定

$f_x = 2x+2, f_y = 2y+4, f_z = 2z-6$
令偏导数为零： $x=-1, y=-2, z=3$ ，驻点 $(-1,-2,3)$
黑塞矩阵： $H = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
顺序主子式： $2>0, \begin{vmatrix}2&0\\0&2\end{vmatrix}=4>0, |H|=8>0$ ，黑塞矩阵正定
故 $(-1,-2,3)$ 是极小值点
极小值： $f(-1,-2,3) = 1+4+9-2-8-18 = -14$

答案：极小值为 $f(-1,-2,3) = -14$ 。

练习题

练习1

求 $f(x, y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x$ 的极值。

参考答案(2 个标签)

极值二阶导数判别法

$f_x = 3x^2+6x-9 = 3(x+3)(x-1)$ ， $f_y = -3y^2+6y = -3y(y-2)$
驻点： $x=-3$ 或 $1$ ； $y=0$ 或 $2$ ，共4个驻点
$f_{xx}=6x+6, f_{xy}=0, f_{yy}=-6y+6$
$(1,0)$ ： $A=12,C=6,\Delta=72>0,A>0$ ，极小值 $f=-5$
$(1,2)$ ： $A=12,C=-6,\Delta=-72<0$ ，鞍点
$(-3,0)$ ： $A=-12,C=6,\Delta=-72<0$ ，鞍点
$(-3,2)$ ： $A=-12,C=-6,\Delta=72>0,A<0$ ，极大值 $f=31$

答案：极小值 $f(1,0)=-5$ ，极大值 $f(-3,2)=31$ ，其余为鞍点。

练习2

求 $f(x, y) = e^{2x}(x + y^2 + 2y)$ 的极值。

参考答案(3 个标签)

极值指数函数二阶导数判别法

$f_x = e^{2x}(2x+2y^2+4y+1)$ ， $f_y = e^{2x}(2y+2)$
令 $f_y=0$ ： $y=-1$ ；代入 $f_x=0$ ： $2x+2-4+1=0$ ， $x=\frac{1}{2}$
驻点 $(\frac{1}{2}, -1)$
$f_{xx} = e^{2x}(4x+4y^2+8y+4)$ ， $f_{xy} = e^{2x}(4y+4)$ ， $f_{yy} = 2e^{2x}$
在 $(\frac{1}{2},-1)$ 处： $A=2e, B=0, C=2e, \Delta=4e^2>0, A>0$ ，极小值
$f(\frac{1}{2},-1) = e( \frac{1}{2}+1-2) = -\frac{e}{2}$

答案：极小值为 $f(\frac{1}{2},-1) = -\frac{e}{2}$ 。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$A, B, C$	二阶偏导	A, B, C	$f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}$ 在驻点处的值
$\Delta$	判别式	delta	$AC - B^2$
$H_f$	黑塞矩阵	Hessian of f	二阶偏导数构成的矩阵
$\det(H)$	行列式	determinant	矩阵的行列式

中英对照

中文术语	英文术语	音标
二阶导数判别法	second derivative test	/ˈsɛkənd dɪˈrɪvətɪv tɛst/
黑塞矩阵	Hessian matrix	/ˈhɛsiən ˈmeɪtrɪks/
判别式	discriminant	/dɪˈskrɪmɪnənt/
正定矩阵	positive definite matrix	/ˈpɒzətɪv ˈdɛfənət ˈmeɪtrɪks/
负定矩阵	negative definite matrix	/ˈnɛɡətɪv ˈdɛfənət ˈmeɪtrɪks/
不定矩阵	indefinite matrix	/ɪnˈdɛfənət ˈmeɪtrɪks/
半正定	positive semidefinite	/ˈpɒzətɪv ˌsɛmiˈdɛfənət/
顺序主子式	leading principal minor	/ˈliːdɪŋ ˈprɪnsəpəl ˈmaɪnər/
充分条件	sufficient condition	/səˈfɪʃənt kənˈdɪʃən/

上一章节极值的定义与必要条件学习多元函数极值的定义、临界点（驻点）的概念，以及极值存在的必要条件。

下一章节极值的计算与应用学习多元函数极值在实际问题中的应用，包括最大值最小值问题、几何优化、物理应用等。