Logo

曲面的切平面与法线

显式曲面的切平面与法线

定理1

设曲面由显式方程 z=f(x,y)z = f(x, y) 给出，函数 ff 在点 (x0,y0)(x_0, y_0) 处可微，则曲面在点 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0)（z0=f(x0,y0)z_0 = f(x_0,y_0)）处的

切平面方程： z−z0=fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)

法线方程： x−x0fx(x0,y0)=y−y0fy(x0,y0)=z−z0−1\frac{x - x_0}{f_x(x_0, y_0)} = \frac{y - y_0}{f_y(x_0, y_0)} = \frac{z - z_0}{-1}

法向量： n⃗=(fx(x0,y0),fy(x0,y0),−1)\vec{n} = (f_x(x_0, y_0), f_y(x_0, y_0), -1)

几何解释
推论
证明
符号说明

隐式曲面的切平面与法线

定理2

设曲面由隐式方程 F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0 给出，M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0) 是曲面上一点，且 Fx,Fy,FzF_x, F_y, F_z 在该点不同时为零，则曲面在 M0M_0 处的

切平面方程： Fx(M0)(x−x0)+Fy(M0)(y−y0)+Fz(M0)(z−z0)=0F_x(M_0)(x-x_0) + F_y(M_0)(y-y_0) + F_z(M_0)(z-z_0) = 0

法线方程： x−x0Fx(M0)=y−y0Fy(M0)=z−z0Fz(M0)\frac{x-x_0}{F_x(M_0)} = \frac{y-y_0}{F_y(M_0)} = \frac{z-z_0}{F_z(M_0)}

法向量： n⃗=(Fx(M0),Fy(M0),Fz(M0))=∇F(M0)\vec{n} = (F_x(M_0), F_y(M_0), F_z(M_0)) = \nabla F(M_0)

几何解释
推论
证明
符号说明

两种形式的转换

显式曲面 z=f(x,y)z = f(x,y) 可以写成隐式形式 F(x,y,z)=f(x,y)−z=0F(x,y,z) = f(x,y) - z = 0，此时：

  • Fx=fxF_x = f_x，Fy=fyF_y = f_y，Fz=−1F_z = -1
  • 法向量 ∇F=(fx,fy,−1)\nabla F = (f_x, f_y, -1)，与显式公式一致

典型例题

例题1：显式曲面的切平面

求旋转抛物面 z=x2+y2z = x^2 + y^2 在点 (1,1,2)(1, 1, 2) 处的切平面方程和法线方程。

参考答案(4 个标签)
切平面法线显式曲面旋转抛物面
  1. fx=2xf_x = 2x，fy=2yf_y = 2y
  2. 在 (1,1)(1,1) 处：fx=2f_x = 2，fy=2f_y = 2
  3. 切平面：z−2=2(x−1)+2(y−1)z - 2 = 2(x-1) + 2(y-1)，即 2x+2y−z−2=02x + 2y - z - 2 = 0
  4. 法线：x−12=y−12=z−2−1\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{-1}

答案：切平面 2x+2y−z−2=02x+2y-z-2=0，法线 x−12=y−12=z−2−1\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}

例题2：隐式曲面的切平面

求椭球面 x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 在点 (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) 处的切平面方程。

参考答案(3 个标签)
切平面隐式曲面椭球面
  1. 令 F=x2a2+y2b2+z2c2−1F = \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1
  2. Fx=2xa2F_x = \frac{2x}{a^2}，Fy=2yb2F_y = \frac{2y}{b^2}，Fz=2zc2F_z = \frac{2z}{c^2}
  3. 在 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 处：法向量 (2x0a2,2y0b2,2z0c2)(\frac{2x_0}{a^2}, \frac{2y_0}{b^2}, \frac{2z_0}{c^2})
  4. 切平面：2x0a2(x−x0)+2y0b2(y−y0)+2z0c2(z−z0)=0\frac{2x_0}{a^2}(x-x_0) + \frac{2y_0}{b^2}(y-y_0) + \frac{2z_0}{c^2}(z-z_0) = 0
  5. 化简：x0xa2+y0yb2+z0zc2=x02a2+y02b2+z02c2=1\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} + \frac{z_0 z}{c^2} = \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2} = 1

答案：切平面方程为 x0xa2+y0yb2+z0zc2=1\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}+\frac{z_0 z}{c^2}=1

例题3：切平面过定点

证明曲面 x+y+z=a\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} = \sqrt{a}（a>0a>0）上任意点处的切平面在三个坐标轴上的截距之和为常数。

参考答案(4 个标签)
切平面截距证明题隐式曲面
  1. 令 F=x+y+z−aF = \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}-\sqrt{a}
  2. Fx=12xF_x = \frac{1}{2\sqrt{x}}，Fy=12yF_y = \frac{1}{2\sqrt{y}}，Fz=12zF_z = \frac{1}{2\sqrt{z}}
  3. 在曲面上任一点 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 处，切平面： 12x0(x−x0)+12y0(y−y0)+12z0(z−z0)=0\frac{1}{2\sqrt{x_0}}(x-x_0) + \frac{1}{2\sqrt{y_0}}(y-y_0) + \frac{1}{2\sqrt{z_0}}(z-z_0) = 0
  4. 化简：xx0+yy0+zz0=x0+y0+z0=a\frac{x}{\sqrt{x_0}} + \frac{y}{\sqrt{y_0}} + \frac{z}{\sqrt{z_0}} = \sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}+\sqrt{z_0} = \sqrt{a}
  5. 截距式：xax0+yay0+zaz0=1\frac{x}{\sqrt{a x_0}} + \frac{y}{\sqrt{a y_0}} + \frac{z}{\sqrt{a z_0}} = 1
  6. 三个截距分别为 ax0,ay0,az0\sqrt{a x_0}, \sqrt{a y_0}, \sqrt{a z_0}
  7. 截距之和 =a(x0+y0+z0)=a⋅a=a= \sqrt{a}(\sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}+\sqrt{z_0}) = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a（常数）

答案：切平面在三个坐标轴上的截距之和为 aa，是常数。

练习题

练习1

求曲面 z=y+ln⁡xzz = y + \ln\frac{x}{z} 在点 (1,1,1)(1, 1, 1) 处的切平面方程和法线方程。

参考答案(3 个标签)
切平面法线隐式曲面
  1. 令 F=y+ln⁡x−ln⁡z−z=0F = y + \ln x - \ln z - z = 0
  2. Fx=1xF_x = \frac{1}{x}，Fy=1F_y = 1，Fz=−1z−1F_z = -\frac{1}{z} - 1
  3. 在 (1,1,1)(1,1,1) 处：Fx=1,Fy=1,Fz=−2F_x=1, F_y=1, F_z=-2
  4. 切平面：(x−1)+(y−1)−2(z−1)=0(x-1)+(y-1)-2(z-1)=0，即 x+y−2z=0x+y-2z=0
  5. 法线：x−11=y−11=z−1−2\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{-2}

答案：切平面 x+y−2z=0x+y-2z=0，法线 x−11=y−11=z−1−2\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2}

练习2

求曲面 x2+2y2+3z2=21x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 21 上平行于平面 x+4y+6z=0x + 4y + 6z = 0 的切平面方程。

参考答案(3 个标签)
切平面平行平面隐式曲面
  1. 令 F=x2+2y2+3z2−21F = x^2+2y^2+3z^2-21，法向量 ∇F=(2x,4y,6z)\nabla F = (2x, 4y, 6z)
  2. 已知平面法向量 (1,4,6)(1,4,6)，切平面与之平行，故 ∇F∥(1,4,6)\nabla F \parallel (1,4,6)
  3. 即 2x1=4y4=6z6=t\frac{2x}{1} = \frac{4y}{4} = \frac{6z}{6} = t，得 x=t2,y=t,z=tx=\frac{t}{2}, y=t, z=t
  4. 代入曲面方程：t24+2t2+3t2=21\frac{t^2}{4}+2t^2+3t^2=21，21t24=21\frac{21t^2}{4}=21，t2=4t^2=4，t=±2t=\pm2
  5. 切点：t=2t=2 时 (1,2,2)(1,2,2)；t=−2t=-2 时 (−1,−2,−2)(-1,-2,-2)
  6. 切平面1：(x−1)+4(y−2)+6(z−2)=0(x-1)+4(y-2)+6(z-2)=0，即 x+4y+6z=21x+4y+6z=21
  7. 切平面2：(x+1)+4(y+2)+6(z+2)=0(x+1)+4(y+2)+6(z+2)=0，即 x+4y+6z=−21x+4y+6z=-21

答案：切平面方程为 x+4y+6z=±21x+4y+6z=\pm21

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
M0M_0切点point of tangency曲面上的切点
n⃗\vec{n}法向量normal vector切平面的法向量
∇F\nabla F梯度gradient隐式曲面函数的梯度
z0z_0函数值z zero切点处的竖坐标

中英对照

中文术语英文术语音标
切平面tangent plane/ˈtændʒənt pleɪn/
法线normal line/ˈnɔːrməl laɪn/
法向量normal vector/ˈnɔːrməl ˈvɛktər/
显式曲面explicit surface/ɪkˈsplɪsɪt ˈsɜːrfɪs/
隐式曲面implicit surface/ɪmˈplɪsɪt ˈsɜːrfɪs/
切点point of tangency/pɔɪnt əv ˈtændʒənsi/
截距intercept/ˈɪntərsɛpt/
旋转抛物面paraboloid of revolution/pəˈræbəlɔɪd əv ˌrɛvəˈluːʃən/
椭球面ellipsoid/ɪˈlɪpsɔɪd/
上一章节微分学的几何应用学习多元函数微分学在几何中的应用，包括曲面的切平面与法线、空间曲线的切线与法平面。
下一章节空间曲线的切线与法平面学习空间曲线的切线与法平面的求法，包括参数方程形式和一般方程形式两种情形。
多元函数微分学