空间曲线的切线与法平面

参数方程形式的空间曲线

定理1

设空间曲线 $\Gamma$ 由参数方程给出：

$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases} \quad (\alpha \leq t \leq \beta)$

其中 $x(t), y(t), z(t)$ 均可导，且导数不同时为零。对应于 $t = t_0$ 的点为 $M_0(x_0, y_0, z_0)$ ，则曲线在 $M_0$ 处的

切向量： $\vec{T} = (x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$

切线方程： $\frac{x - x_0}{x'(t_0)} = \frac{y - y_0}{y'(t_0)} = \frac{z - z_0}{z'(t_0)}$

法平面方程（过 $M_0$ 且垂直于切线的平面）： $x'(t_0)(x - x_0) + y'(t_0)(y - y_0) + z'(t_0)(z - z_0) = 0$

几何解释

推论

证明

符号说明

切向量的几何意义：切向量 $\vec{T} = (x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$ 指向参数 $t$ 增大的方向，其模 $|\vec{T}| = \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}$ 表示参数变化时曲线的”速度”。如果参数是弧长 $s$ ，则切向量是单位向量。

一般方程形式的空间曲线

定理2

设空间曲线 $\Gamma$ 由一般方程（两曲面的交线）给出：

$\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}$

$M_0(x_0, y_0, z_0)$ 是曲线上一点，且矩阵

$\begin{pmatrix} F_x & F_y & F_z \\ G_x & G_y & G_z \end{pmatrix}$

在 $M_0$ 处的秩为2，则曲线在 $M_0$ 处的

切向量： $\vec{T} = \nabla F(M_0) \times \nabla G(M_0) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ F_x & F_y & F_z \\ G_x & G_y & G_z \end{vmatrix}_{M_0}$

即 $\vec{T} = \left( \frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}, \frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}, \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)} \right)$ ，其中 $\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)} = \begin{vmatrix} F_y & F_z \\ G_y & G_z \end{vmatrix}$ 为雅可比行列式。

几何解释

推论

证明

符号说明

为什么切向量是两个梯度的叉乘？ 空间曲线是两个曲面 $F=0$ 和 $G=0$ 的交线。在交点处，曲线的切线同时位于两个曲面的切平面内，因此切线方向同时垂直于两个曲面的法向量 $\nabla F$ 和 $\nabla G$ 。而同时垂直于两个向量的向量就是它们的叉乘 $\nabla F \times \nabla G$ 。

典型例题

例题1：参数方程曲线的切线

求曲线 $x = t, y = t^2, z = t^3$ 在点 $(1, 1, 1)$ 处的切线方程和法平面方程。

参考答案(4 个标签)

切线法平面参数方程空间曲线

点 $(1,1,1)$ 对应参数 $t=1$
$x'(t)=1, y'(t)=2t, z'(t)=3t^2$
在 $t=1$ 处：切向量 $\vec{T} = (1, 2, 3)$
切线方程： $\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{3}$
法平面方程： $1(x-1) + 2(y-1) + 3(z-1) = 0$ ，即 $x + 2y + 3z - 6 = 0$

答案：切线 $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$ ，法平面 $x+2y+3z-6=0$

例题2：一般方程曲线的切线

求曲线 $\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 6 \\ x + y + z = 0 \end{cases}$ 在点 $(1, -2, 1)$ 处的切线方程和法平面方程。

参考答案(5 个标签)

切线法平面一般方程空间曲线叉乘

令 $F = x^2+y^2+z^2-6$ ， $G = x+y+z$
$\nabla F = (2x, 2y, 2z)$ ， $\nabla G = (1, 1, 1)$
在 $(1,-2,1)$ 处： $\nabla F = (2, -4, 2)$ ， $\nabla G = (1, 1, 1)$
切向量 $\vec{T} = \nabla F \times \nabla G = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -4 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-4-2, 2-2, 2-(-4)) = (-6, 0, 6)$
可取切向量 $(1, 0, -1)$
切线方程： $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{0} = \frac{z-1}{-1}$ （即 $\begin{cases} y = -2 \\ x + z = 2 \end{cases}$ ）
法平面方程： $1(x-1) + 0(y+2) - 1(z-1) = 0$ ，即 $x - z = 0$

答案：切线 $\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-1}$ ，法平面 $x-z=0$

例题3：切线与平面平行

求曲线 $x = t, y = -t^2, z = t^3$ 上与平面 $x + 2y + z = 4$ 平行的切线方程。

参考答案(4 个标签)

切线平行平面参数方程应用

切向量 $\vec{T} = (1, -2t, 3t^2)$
平面法向量 $\vec{n} = (1, 2, 1)$
切线与平面平行 ⟺ 切向量与法向量垂直 ⟺ $\vec{T} \cdot \vec{n} = 0$
$1 \cdot 1 + (-2t) \cdot 2 + 3t^2 \cdot 1 = 0$ ，即 $3t^2 - 4t + 1 = 0$
解得 $t = 1$ 或 $t = \frac{1}{3}$
$t=1$ 时：切点 $(1,-1,1)$ ，切向量 $(1,-2,3)$ ，切线 $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-1}{3}$
$t=\frac{1}{3}$ 时：切点 $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{9}, \frac{1}{27})$ ，切向量 $(1, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ ，即 $(3, -2, 1)$ ，切线 $\frac{x-\frac{1}{3}}{3}=\frac{y+\frac{1}{9}}{-2}=\frac{z-\frac{1}{27}}{1}$

答案：两条切线分别为 $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-1}{3}$ 和 $\frac{x-\frac{1}{3}}{3}=\frac{y+\frac{1}{9}}{-2}=\frac{z-\frac{1}{27}}{1}$

练习题

练习1

求螺旋线 $x = a\cos t, y = a\sin t, z = bt$ 在 $t = \frac{\pi}{2}$ 处的切线方程和法平面方程。

参考答案(4 个标签)

切线法平面螺旋线参数方程

$t=\frac{\pi}{2}$ 时：切点 $(0, a, \frac{b\pi}{2})$
$x'=-a\sin t, y'=a\cos t, z'=b$
在 $t=\frac{\pi}{2}$ 处：切向量 $(-a, 0, b)$
切线： $\frac{x}{-a} = \frac{y-a}{0} = \frac{z-\frac{b\pi}{2}}{b}$ （即 $\begin{cases} y=a \\ bx+az = \frac{ab\pi}{2} \end{cases}$ ）
法平面： $-a(x-0)+0(y-a)+b(z-\frac{b\pi}{2})=0$ ，即 $-ax+bz-\frac{b^2\pi}{2}=0$

答案：切线 $\frac{x}{-a}=\frac{y-a}{0}=\frac{z-\frac{b\pi}{2}}{b}$ ，法平面 $-ax+bz=\frac{b^2\pi}{2}$

练习2

求曲线 $\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ x^2 + z^2 = 1 \end{cases}$ 在点 $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ 处的切线方程。

参考答案(4 个标签)

切线一般方程空间曲线叉乘

令 $F=x^2+y^2-1, G=x^2+z^2-1$
$\nabla F=(2x,2y,0), \nabla G=(2x,0,2z)$
在点处： $\nabla F=(\sqrt{2},\sqrt{2},0), \nabla G=(\sqrt{2},0,\sqrt{2})$
切向量 $\vec{T}=\nabla F\times\nabla G=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\sqrt{2}&\sqrt{2}&0\\\sqrt{2}&0&\sqrt{2}\end{vmatrix}=(2,-2,-2)$ ，可取 $(1,-1,-1)$
切线： $\frac{x-\frac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\frac{y-\frac{1}{\sqrt{2}}}{-1}=\frac{z-\frac{1}{\sqrt{2}}}{-1}$

答案：切线方程为 $\frac{x-\frac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\frac{y-\frac{1}{\sqrt{2}}}{-1}=\frac{z-\frac{1}{\sqrt{2}}}{-1}$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\vec{T}$	切向量	tangent vector	空间曲线的切向量
$\Gamma$	曲线	gamma	空间曲线
$t$	参数	parameter	曲线的参数
$\times$	叉乘	cross product	向量叉乘
$\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}$	雅可比行列式	Jacobian	函数行列式

中英对照

中文术语	英文术语	音标
空间曲线	space curve	/speɪs kɜːrv/
切线	tangent line	/ˈtændʒənt laɪn/
法平面	normal plane	/ˈnɔːrməl pleɪn/
切向量	tangent vector	/ˈtændʒənt ˈvɛktər/
参数方程	parametric equation	/ˌpærəˈmɛtrɪk ɪˈkweɪʒən/
一般方程	general equation	/ˈdʒɛnərəl ɪˈkweɪʒən/
雅可比行列式	Jacobian determinant	/dʒəˈkoʊbiən dɪˈtɜːrmɪnənt/
叉乘	cross product	/krɒs ˈprɒdʌkt/
螺旋线	helix	/ˈhiːlɪks/
交线	intersection curve	/ˌɪntərˈsɛkʃən kɜːrv/

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下一章节几何应用综合学习微分学几何应用的综合问题，包括曲面与曲线的综合、夹角计算、距离问题等。