几何应用综合

1. 令 $F = x^2+y^2+z^2-R^2$，$G = x^2+y^2-a^2z^2$
2. $\nabla F = (2x, 2y, 2z)$，$\nabla G = (2x, 2y, -2a^2z)$
3. 在交线上（同时满足两个方程），计算法向量点积： $\nabla F \cdot \nabla G = 4x^2 + 4y^2 - 4a^2z^2 = 4(x^2+y^2-a^2z^2) = 4 \cdot 0 = 0$（由锥面方程）
4. 法向量点积为零，故两曲面在交线上每一点处都正交。

答案：两曲面在交线上正交。

1. 平行于 $xOz$ 面的截线：$y=1$，即 $\begin{cases} z=x \\ y=1 \end{cases}$，参数方程 $x=t, y=1, z=t$，切向量 $\vec{T}_1 = (1, 0, 1)$
2. 平行于 $yOz$ 面的截线：$x=1$，即 $\begin{cases} z=y \\ x=1 \end{cases}$，参数方程 $x=1, y=t, z=t$，切向量 $\vec{T}_2 = (0, 1, 1)$
3. 夹角余弦：$\cos\theta = \frac{|\vec{T}_1 \cdot \vec{T}_2|}{|\vec{T}_1||\vec{T}_2|} = \frac{|0+0+1|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
4. 故 $\theta = \frac{\pi}{3}$（60度）

答案：两条截线的夹角为 $\frac{\pi}{3}$（60度）。

1. 设曲面上点 $(x,y,z)$，距离平方 $f = x^2+y^2+z^2$，约束 $(x-y)^2-z^2=1$
2. $L = x^2+y^2+z^2 + \lambda[(x-y)^2-z^2-1]$
3. $L_x = 2x+2\lambda(x-y)=0$，$L_y = 2y-2\lambda(x-y)=0$，$L_z = 2z-2\lambda z=0$
4. 由 $L_z=0$：$2z(1-\lambda)=0$，故 $z=0$ 或 $\lambda=1$
5. 若 $\lambda=1$：由 $L_x=0$ 得 $x+x-y=0$ 即 $2x=y$；由 $L_y=0$ 得 $y-(x-y)=0$ 即 $2y=x$；联立得 $x=y=0$，代入约束得 $-z^2=1$，无解。
6. 故 $z=0$：约束变为 $(x-y)^2=1$，即 $x-y=\pm1$
7. 由 $L_x=0, L_y=0$：$x = -\lambda(x-y)$，$y = \lambda(x-y)$，故 $x = -y$
8. 联立 $x=-y$ 和 $x-y=\pm1$：$2x=\pm1$，$x=\pm\frac{1}{2}$，$y=\mp\frac{1}{2}$
9. 距离平方 $f = \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+0 = \frac{1}{2}$
10. 最短距离 $= \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

答案：最短距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

1. 令 $F=xyz-1$，$\nabla F=(yz,xz,xy)$
2. 在切点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处（$x_0y_0z_0=1$），切平面： $y_0z_0(x-x_0)+x_0z_0(y-y_0)+x_0y_0(z-z_0)=0$
3. 化简：$y_0z_0 x + x_0z_0 y + x_0y_0 z = 3x_0y_0z_0 = 3$
4. 截距式：$\frac{x}{3x_0} + \frac{y}{3y_0} + \frac{z}{3z_0} = 1$
5. 截距：$3x_0, 3y_0, 3z_0$，四面体体积 $V = \frac{1}{6} \cdot 27x_0y_0z_0 = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$
6. 体积与切点位置无关，恒为 $\frac{9}{2}$！

答案：切平面与坐标面围成的四面体体积恒为 $\frac{9}{2}$，与切点无关，故最小值也是 $\frac{9}{2}$。

1. 令 $F = x^2+y^2-z$，$G = \frac{x^2}{2}+y^2+z^2-3$
2. $\nabla F = (2x, 2y, -1)$，$\nabla G = (x, 2y, 2z)$
3. 在 $(1,0,1)$ 处：$\nabla F = (2,0,-1)$，$\nabla G = (1,0,2)$
4. $\nabla F \cdot \nabla G = 2\times1 + 0 + (-1)\times2 = 0$
5. 法向量正交，故两曲面在该点正交。

答案：两曲面在 $(1,0,1)$ 处正交。

1. 令 $F=x^2+y^2+z^2-2, G=x+y+z$
2. $\nabla F=(2x,2y,2z), \nabla G=(1,1,1)$
3. 在 $(1,0,-1)$ 处：$\nabla F=(2,0,-2), \nabla G=(1,1,1)$
4. 切向量 $\vec{T}=\nabla F\times\nabla G=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&0&-2\\1&1&1\end{vmatrix}=(2,-4,2)$，可取 $(1,-2,1)$
5. $z$ 轴方向向量 $\vec{k}=(0,0,1)$
6. 夹角余弦：$\cos\theta = \frac{|\vec{T}\cdot\vec{k}|}{|\vec{T}||\vec{k}|} = \frac{1}{\sqrt{1+4+1}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$
7. $\theta = \arccos\frac{1}{\sqrt{6}}$

答案：切线与 $z$ 轴的夹角为 $\arccos\frac{1}{\sqrt{6}}$。