条件极值的应用

1. 目标：$f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2$（距离平方）
2. 约束：$\varphi = x^2+y^2-z=0$，$\psi = x+y+z-1=0$
3. $L = x^2+y^2+z^2 + \lambda(x^2+y^2-z) + \mu(x+y+z-1)$
4. $L_x = 2x+2\lambda x+\mu=0$，$L_y = 2y+2\lambda y+\mu=0$，$L_z = 2z-\lambda+\mu=0$
5. 由 $L_x=L_y$：$2(x-y)(1+\lambda)=0$，故 $x=y$ 或 $\lambda=-1$
6. 若 $x=y$：$2x^2=z$，$2x+z=1$，即 $2x^2+2x-1=0$，$x = \frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$
   • $x=y=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，$z=2-\sqrt{3}$，$f = 2x^2+z^2 = z+z^2 = (2-\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})^2 = 9-5\sqrt{3}$
   • $x=y=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$，$z=2+\sqrt{3}$，$f = z+z^2 = 9+5\sqrt{3}$
7. 若 $\lambda=-1$：$\mu=0$，由 $L_z=0$ 得 $z=\frac{1}{2}$，由 $x^2+y^2=\frac{1}{2}$ 和 $x+y=\frac{1}{2}$ 得 $xy=-\frac{1}{8}$，$x,y = \frac{1\pm\sqrt{3}}{4}$，$f = \frac{1}{2}+\frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
8. 比较：最短距离 $=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，最长距离 $=\sqrt{9+5\sqrt{3}}$

答案：最短距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，最长距离为 $\sqrt{9+5\sqrt{3}}$。

1. 目标：最小化 $C(x,y) = x^2+2y^2+10$
2. 约束：$x+y=30$
3. $L = x^2+2y^2+10 + \lambda(x+y-30)$
4. $L_x = 2x+\lambda=0$，$L_y = 4y+\lambda=0$，$L_\lambda = x+y-30=0$
5. 由前两式：$2x = 4y$，即 $x = 2y$
6. 代入约束：$3y = 30$，$y=10$，$x=20$
7. 最小成本 $C(20,10) = 400+200+10 = 610$
8. 黑塞矩阵 $H = \begin{pmatrix}2&0\\0&4\end{pmatrix}$ 正定，故为最小值。

答案：最优生产计划为 $x=20, y=10$，最小成本为 $610$。

1. 设第一卦限顶点为 $(x,y,z)$，体积 $V=8xyz$
2. 约束：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
3. 为方便，最大化 $f=xyz$（等价于最大化 $V$）
4. $L = xyz + \lambda(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1)$
5. $L_x = yz+\frac{2\lambda x}{a^2}=0$，$L_y = xz+\frac{2\lambda y}{b^2}=0$，$L_z = xy+\frac{2\lambda z}{c^2}=0$
6. 由 $L_x=0$：$yz = -\frac{2\lambda x}{a^2}$，两边乘 $x$：$xyz = -\frac{2\lambda x^2}{a^2}$
7. 同理：$xyz = -\frac{2\lambda y^2}{b^2} = -\frac{2\lambda z^2}{c^2}$
8. 故 $\frac{x^2}{a^2} = \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}$，代入约束得 $\frac{3x^2}{a^2}=1$，$x=\frac{a}{\sqrt{3}}$
9. 同理 $y=\frac{b}{\sqrt{3}}, z=\frac{c}{\sqrt{3}}$
10. 最大体积 $V = 8 \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{b}{\sqrt{3}} \cdot \frac{c}{\sqrt{3}} = \frac{8abc}{3\sqrt{3}}$

答案：最大体积为 $\frac{8abc}{3\sqrt{3}}$。

1. 目标：最小化 $U = x^2+2y^2+3z^2$
2. 约束：$x+y+z=1$
3. $L = x^2+2y^2+3z^2 + \lambda(x+y+z-1)$
4. $L_x = 2x+\lambda=0$，$L_y = 4y+\lambda=0$，$L_z = 6z+\lambda=0$
5. $x = -\frac{\lambda}{2}, y = -\frac{\lambda}{4}, z = -\frac{\lambda}{6}$
6. 代入约束：$-\lambda(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}) = 1$，$-\lambda \cdot \frac{11}{12} = 1$，$\lambda = -\frac{12}{11}$
7. $x = \frac{6}{11}, y = \frac{3}{11}, z = \frac{2}{11}$
8. 黑塞矩阵 $H = \text{diag}(2,4,6)$ 正定，故为最小值点。
9. 最小势能 $U = \frac{36}{121}+\frac{18}{121}+\frac{12}{121} = \frac{66}{121} = \frac{6}{11}$

答案：平衡位置为 $(\frac{6}{11}, \frac{3}{11}, \frac{2}{11})$，最小势能为 $\frac{6}{11}$。

1. 设抛物线上点 $(x,y)$ 满足 $y=x^2$，到直线距离 $d = \frac{|x-y-2|}{\sqrt{2}}$
2. 最小化 $f = (x-y-2)^2$，约束 $y-x^2=0$
3. $L = (x-y-2)^2 + \lambda(y-x^2)$
4. $L_x = 2(x-y-2)-2\lambda x=0$，$L_y = -2(x-y-2)+\lambda=0$
5. 由 $L_y=0$：$\lambda = 2(x-y-2)$，代入 $L_x=0$：$2(x-y-2)-4x(x-y-2)=0$
6. 若 $x-y-2\neq0$：$1-2x=0$，$x=\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{4}$
7. 最短距离 $d = \frac{|\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-2|}{\sqrt{2}} = \frac{7}{4\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{8}$

答案：最短距离为 $\frac{7\sqrt{2}}{8}$。

1. 设矩形两边为 $x, y$，$2(x+y)=2p$ 即 $x+y=p$
2. 绕边长为 $x$ 的边旋转，圆柱体体积 $V = \pi y^2 x$（$y$ 为底半径，$x$ 为高）
3. $L = \pi x y^2 + \lambda(x+y-p)$
4. $L_x = \pi y^2+\lambda=0$，$L_y = 2\pi xy+\lambda=0$
5. $\pi y^2 = 2\pi xy$，即 $y = 2x$（$y\neq0$）
6. 代入 $x+y=p$：$3x=p$，$x=\frac{p}{3}$，$y=\frac{2p}{3}$
7. 最大体积 $V = \pi \cdot \frac{p}{3} \cdot (\frac{2p}{3})^2 = \frac{4\pi p^3}{27}$

答案：最大体积为 $\frac{4\pi p^3}{27}$（当矩形两边为 $\frac{p}{3}$ 和 $\frac{2p}{3}$，绕短边旋转时）。