多元函数的极限

二重极限的定义

二重极限

设函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$ ，总存在正数 $\delta$ ，使得当点 $P(x, y)$ 满足 $0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$ 时，都有 $|f(x, y) - A| < \varepsilon$ ，则称 $A$ 为函数 $f(x, y)$ 当 $(x, y) \to (x_0, y_0)$ 时的二重极限，记作：

$\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = A$

关键区别：一元函数的极限 $x \to x_0$ 只有左右两个方向，而二元函数的极限要求点 $P$ 以任意方式趋近于 $P_0$ 时，函数值都趋近于同一个常数 $A$ 。这是多元函数极限比一元函数极限复杂的根本原因。

极限的性质

定理1

唯一性：极限存在则唯一。
局部有界性：极限存在则函数在去心邻域内有界。
四则运算：和差积商的极限等于极限的和差积商（分母非零）。
夹逼准则： $g \leq f \leq h$ 且 $\lim g = \lim h = A$ ，则 $\lim f = A$ 。
复合函数极限：若 $\lim f = A$ 且 $\lim_{u\to A} g(u) = B$ ，则 $\lim g(f) = B$ 。

几何解释

推论

证明

符号说明

累次极限

先固定一个变量让另一个趋近，再让固定变量趋近，得到的极限称为累次极限：

$\lim_{x \to x_0} \lim_{y \to y_0} f(x, y), \quad \lim_{y \to y_0} \lim_{x \to x_0} f(x, y)$

二重极限与累次极限的关系：

二重极限存在，累次极限不一定存在；但若两个累次极限都存在，则必相等且等于二重极限。
两个累次极限都存在且相等，二重极限不一定存在。
两个累次极限存在但不相等，则二重极限一定不存在。
累次极限不能随意交换次序。

极限不存在的判定

判定极限不存在：

路径法：找两条不同路径使极限值不同（常用 $y=kx$ , $y=kx^2$ ）。
累次极限法：两个累次极限存在但不相等。
极坐标法：令 $x=\rho\cos\theta, y=\rho\sin\theta$ ，若极限依赖 $\theta$ 则不存在。

判定极限存在：夹逼准则、极坐标变换（与 $\theta$ 无关）、等价无穷小、变量替换。

典型例题

例题1：极限不存在（路径法）

证明 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}$ 不存在。

参考答案(3 个标签)

极限不存在路径法经典反例

详细步骤：

沿 $x$ 轴（ $y=0$ ）： $\lim_{x\to0} \frac{0}{x^2} = 0$
沿 $y=x$ ： $\lim_{x\to0} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$
两路径极限不同，故不存在。

答案：极限不存在。

例题2：极限不存在（抛物线路径）

证明 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ 不存在。

参考答案(3 个标签)

极限不存在抛物线路径高阶无穷小

详细步骤：

沿 $x$ 轴：极限为 $0$
沿 $y=x^2$ ： $\lim_{x\to0} \frac{x^4}{x^4+x^4} = \frac{1}{2}$
两路径极限不同，故不存在。

即使沿所有直线 $y=kx$ 极限都相同（均为0），二重极限也可能不存在。必须考虑所有路径。

答案：极限不存在。

例题3：求极限（夹逼/极坐标）

求 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}$ 。

参考答案(4 个标签)

极限存在夹逼准则极坐标无穷小乘有界

详细步骤：

方法一：夹逼准则 $0 \leq |\frac{x^2 y}{x^2+y^2}| \leq \frac{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2} = \sqrt{x^2+y^2} \to 0$

方法二：极坐标原式 $= \lim_{\rho\to0} \frac{\rho^2\cos^2\theta \cdot \rho\sin\theta}{\rho^2} = \lim_{\rho\to0} \rho\cos^2\theta\sin\theta = 0$

答案： $0$

练习题

练习1

求 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\sin(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}$ 。

参考答案(3 个标签)

极限存在等价无穷小重要极限

详细步骤：

令 $t=x^2+y^2$ ，原式 $= \lim_{t\to0^+} \frac{\sin t}{t} = 1$

答案： $1$

练习2

证明 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ 不存在。

参考答案(2 个标签)

极限不存在路径法

详细步骤：

沿 $x$ 轴： $\lim_{x\to0} \frac{x^2}{x^2} = 1$
沿 $y$ 轴： $\lim_{y\to0} \frac{-y^2}{y^2} = -1$
极限不同，故不存在。

答案：极限不存在。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\varepsilon$	希腊字母	epsilon	极限定义中的任意正数
$\delta$	希腊字母	delta	极限定义中的正数
$\rho$	希腊字母	rho	极坐标极径
$\theta$	希腊字母	theta	极坐标极角
$A$	常数	constant	极限值

中英对照

中文术语	英文术语	音标
二重极限	double limit	/ˈdʌbəl ˈlɪmɪt/
累次极限	iterated limit	/ˈɪtəreɪtɪd ˈlɪmɪt/
去心邻域	punctured neighborhood	/ˈpʌŋktʃərd ˈneɪbərhʊd/
夹逼准则	squeeze theorem	/skwiːz ˈθɪərəm/
路径法	path method	/pæθ ˈmɛθəd/
极坐标变换	polar coordinate substitution	/ˈpoʊlər koʊˈɔːrdɪnət ˌsʌbstɪˈtjuːʃən/

上一章节多元函数的定义与定义域学习多元函数的定义、定义域求法、几何意义，以及n元函数的一般概念。

下一章节多元函数的连续性学习多元函数连续性的定义、间断点、连续函数的性质，以及一致连续性。