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多元函数的定义与定义域

多元函数的定义

二元函数

二元函数

设 DD 是平面上的一个点集，如果对于 DD 中的每一个点 (x,y)(x, y)，按照某种对应法则 ff，都有唯一确定的实数 zz 与之对应，则称 zz 是 x,yx, y 的二元函数，记作：

z=f(x,y),(x,y)∈Dz = f(x, y), \quad (x, y) \in D

其中 DD 称为函数的定义域，zz 称为因变量，x,yx, y 称为自变量。函数值的全体构成的集合称为值域。

三元函数与n元函数

类似地，三元函数定义为：

w=f(x,y,z),(x,y,z)∈Dw = f(x, y, z), \quad (x, y, z) \in D

其中 DD 是三维空间中的一个点集。

更一般地，n元函数定义为：

u=f(x1,x2,…,xn),(x1,x2,…,xn)∈Du = f(x_1, x_2, \ldots, x_n), \quad (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in D

其中 DD 是 nn 维空间 Rn\mathbb{R}^n 中的一个点集。

几何意义

多元函数的几何表示
  • 二元函数 z=f(x,y)z = f(x, y)：表示三维空间中的一个曲面，定义域 DD 是该曲面在 xOyxOy 平面上的投影。
  • 三元函数 w=f(x,y,z)w = f(x, y, z)：无法用三维空间中的图形直接表示，可以理解为四维空间中的超曲面，通常用等值面 f(x,y,z)=cf(x,y,z) = c 来可视化。
  • n元函数：nn 维空间中的超曲面。

等值线与等值面

对于二元函数 z=f(x,y)z = f(x,y)，等值线（等高线）定义为：

f(x,y)=cf(x, y) = c

其中 cc 为常数。等值线是平面上的曲线，同一等值线上的函数值相等。地形图中的等高线就是等值线的典型应用。

对于三元函数 w=f(x,y,z)w = f(x,y,z)，等值面定义为：

f(x,y,z)=cf(x, y, z) = c

等值面是空间中的曲面，同一等值面上的函数值相等。气象学中的等压面、等温面都是等值面的应用。

定义域的求法

多元函数定义域的求法与一元函数类似，需要找出使函数表达式有意义的自变量取值范围。常见的限制条件：

函数类型限制条件
分式 1f\frac{1}{f}f≠0f \neq 0
偶次根式 f2n\sqrt[2n]{f}f≥0f \geq 0
对数 log⁡af\log_a ff>0f > 0
反正弦/反余弦 arcsin⁡f/arccos⁡f\arcsin f / \arccos f$
正切 tan⁡f\tan ff≠kπ+π2f \neq k\pi + \frac{\pi}{2}

对于实际问题中的函数，定义域还要受实际意义的限制。

典型例题

例题1：求二元函数的定义域

求函数 f(x,y)=1−x2−y2f(x, y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2} 的定义域。

参考答案(4 个标签)
定义域二元函数根式闭圆

解题思路： 偶次根式要求被开方数非负。

详细步骤：

  1. 要求 1−x2−y2≥01 - x^2 - y^2 \geq 0
  2. 即 x2+y2≤1x^2 + y^2 \leq 1
  3. 定义域为 D={(x,y)∣x2+y2≤1}D = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \leq 1\}

答案：定义域是以原点为圆心、半径为1的闭圆（包含边界）。

例题2：求复合函数的定义域

求函数 f(x,y)=ln⁡(x2+y2−1)+14−x2−y2f(x, y) = \ln(x^2 + y^2 - 1) + \frac{1}{\sqrt{4 - x^2 - y^2}} 的定义域。

参考答案(5 个标签)
定义域复合函数对数根式环形区域

解题思路： 分别考虑对数和根式的限制条件，然后求交集。

详细步骤：

  1. 对数要求：x2+y2−1>0x^2 + y^2 - 1 > 0，即 x2+y2>1x^2 + y^2 > 1
  2. 根式要求：4−x2−y2>04 - x^2 - y^2 > 0，即 x2+y2<4x^2 + y^2 < 4
  3. 联立得：1<x2+y2<41 < x^2 + y^2 < 4
  4. 定义域为 D={(x,y)∣1<x2+y2<4}D = \{(x, y) \mid 1 < x^2 + y^2 < 4\}

答案：定义域是内半径为1、外半径为2的开圆环（不包含边界）。

例题3：求三元函数的定义域

求函数 f(x,y,z)=arcsin⁡(x2+y2+z2)f(x, y, z) = \arcsin(x^2 + y^2 + z^2) 的定义域。

参考答案(4 个标签)
定义域三元函数反正弦球体

解题思路： 反正弦函数要求自变量的绝对值不超过1。

详细步骤：

  1. 要求 ∣x2+y2+z2∣≤1|x^2 + y^2 + z^2| \leq 1
  2. 由于 x2+y2+z2≥0x^2 + y^2 + z^2 \geq 0，所以 0≤x2+y2+z2≤10 \leq x^2 + y^2 + z^2 \leq 1
  3. 定义域为 D={(x,y,z)∣x2+y2+z2≤1}D = \{(x, y, z) \mid x^2 + y^2 + z^2 \leq 1\}

答案：定义域是以原点为球心、半径为1的闭球体（包含边界）。

练习题

练习1

求函数 f(x,y)=1x+yf(x, y) = \frac{1}{\sqrt{x + y}} 的定义域。

参考答案(4 个标签)
定义域二元函数根式半平面

解题思路： 分母不为零且根号下大于零。

详细步骤：

  1. 要求 x+y>0x + y > 0
  2. 定义域为 D={(x,y)∣x+y>0}D = \{(x, y) \mid x + y > 0\}

答案：定义域是直线 x+y=0x+y=0 右上方的开半平面。

练习2

求函数 f(x,y)=ln⁡(x−y2)f(x, y) = \ln(x - y^2) 的定义域。

参考答案(3 个标签)
定义域对数函数抛物线

解题思路： 对数真数大于零。

详细步骤：

  1. 要求 x−y2>0x - y^2 > 0，即 x>y2x > y^2
  2. 定义域为 D={(x,y)∣x>y2}D = \{(x, y) \mid x > y^2\}

答案：定义域是抛物线 x=y2x = y^2 右侧的区域（不含边界）。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
DD点集/区域domain函数的定义域
f(x,y)f(x,y)二元函数function of two variables二元函数的表达式
f(x,y,z)f(x,y,z)三元函数function of three variables三元函数的表达式
zz因变量dependent variable二元函数的因变量
ww因变量dependent variable三元函数的因变量
Rn\mathbb{R}^nn维空间n-dimensional spacen元函数的定义域所在空间
cc常数constant等值线/等值面的常数值

中英对照

中文术语英文术语音标说明
多元函数multivariable function/ˌmʌltiˈvɛriəbəl ˈfʌŋkʃən/多个自变量的函数
二元函数function of two variables/ˈfʌŋkʃən əv tuː ˈvɛriəbəlz/两个自变量的函数
三元函数function of three variables/ˈfʌŋkʃən əv θriː ˈvɛriəbəlz/三个自变量的函数
n元函数function of n variables/ˈfʌŋkʃən əv ɛn ˈvɛriəbəlz/n个自变量的函数
定义域domain/doʊˈmeɪn/自变量的取值范围
值域range/reɪndʒ/函数值的集合
因变量dependent variable/dɪˈpɛndənt ˈvɛriəbəl/依赖自变量变化的量
自变量independent variable/ˌɪndɪˈpɛndənt ˈvɛriəbəl/自由变化的量
等值线level curve / contour line/ˈlɛvəl kɜːrv/ /ˈkɒntʊər laɪn/二元函数值相等的点构成的曲线
等值面level surface/ˈlɛvəl ˈsɜːrfɪs/三元函数值相等的点构成的曲面
等高线contour line/ˈkɒntʊər laɪn/即等值线，地形图中的应用
超曲面hypersurface/ˈhaɪpərˌsɜːrfɪs/高维空间中的曲面
上一章节多元函数的基本概念学习多元函数的定义、极限、连续性等基本概念，建立多元函数的初步理解。
下一章节多元函数的极限学习多元函数极限的定义、性质、累次极限，以及极限不存在的判定方法。
多元函数微分学