多元函数的连续性

连续性的定义

二元函数连续

设函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某个邻域内有定义，如果

$\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0)$

则称函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处连续。

如果函数在区域 $D$ 内每一点都连续，则称函数在 $D$ 上连续。

等价地，函数在 $P_0$ 连续当且仅当：

$f(P_0)$ 有定义
$\lim_{P\to P_0} f(P)$ 存在
极限值等于函数值

间断点

如果函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处不连续，则称 $P_0$ 为函数的间断点。

间断点的三种情形：

$f(P_0)$ 无定义
$\lim_{P\to P_0} f(P)$ 不存在
极限存在但不等于 $f(P_0)$

与一元函数不同，二元函数的间断点可以是一个点，也可以是一条曲线。例如 $f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2-1}$ 的间断点是单位圆 $x^2+y^2=1$ 上的所有点。

连续函数的性质

定理1

四则运算：连续函数的和、差、积、商（分母非零）仍连续。
复合函数：连续函数的复合函数仍连续。
初等函数连续性：多元初等函数在其定义域内连续。
最值定理：在有界闭区域 $D$ 上连续的函数必有最大值和最小值。
介值定理：在有界闭区域 $D$ 上连续的函数，能取到最大值 $M$ 和最小值 $m$ 之间的任何值。
有界性定理：在有界闭区域上连续的函数必有界。

几何解释

推论

证明

符号说明

一致连续性

一致连续

设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上有定义，如果对于任意 $\varepsilon > 0$ ，总存在 $\delta > 0$ ，使得对于 $D$ 中任意两点 $P_1, P_2$ ，只要 $|P_1P_2| < \delta$ ，就有 $|f(P_1) - f(P_2)| < \varepsilon$ ，则称 $f$ 在 $D$ 上一致连续。

定理2

康托定理：在有界闭区域上连续的函数必定一致连续。

几何解释

推论

证明

符号说明

连续与一致连续的区别：连续是局部概念（每一点的 $\delta$ 可以依赖于该点），一致连续是整体概念（ $\delta$ 对整个区域统一）。一致连续一定连续，但连续不一定一致连续（如 $f(x,y)=\frac{1}{x}$ 在 $(0,1)\times\mathbb{R}$ 上连续但不一致连续）。

典型例题

例题1：连续性判断

判断 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ 在 $(0,0)$ 处的连续性。

参考答案(3 个标签)

连续性间断点极限不存在

详细步骤：

由极限例题知 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2}$ 不存在
而 $f(0,0) = 0$
极限不存在，故函数在 $(0,0)$ 处不连续， $(0,0)$ 是间断点。

答案：在 $(0,0)$ 处不连续。

例题2：补充定义使函数连续

设 $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}$ （ $(x,y)\neq(0,0)$ ），问能否补充定义 $f(0,0)$ 使函数在原点连续？

参考答案(3 个标签)

连续性补充定义可去间断点

详细步骤：

由极限例题知 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y}{x^2+y^2} = 0$
极限存在，故 $(0,0)$ 是可去间断点
补充定义 $f(0,0) = 0$ ，则函数在原点连续。

答案：可以，补充定义 $f(0,0)=0$ 即可。

例题3：连续函数的介值定理应用

设 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续， $P_1, P_2 \in D$ ，且 $f(P_1) < 0 < f(P_2)$ ，证明存在 $P_0 \in D$ 使 $f(P_0) = 0$ 。

参考答案(3 个标签)

介值定理连续函数零点存在

详细步骤：

$f$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，由最值定理， $f$ 在 $D$ 上取得最小值 $m$ 和最大值 $M$ 。
由 $f(P_1) < 0 < f(P_2)$ ，知 $m \leq f(P_1) < 0 < f(P_2) \leq M$ ，即 $0 \in [m, M]$ 。
由介值定理，存在 $P_0 \in D$ 使 $f(P_0) = 0$ 。

答案：存在 $P_0 \in D$ 使 $f(P_0) = 0$ （二元函数的零点存在定理）。

练习题

练习1

判断 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}$ 在 $(0,0)$ 处的连续性。

参考答案(3 个标签)

连续性间断点极限不存在

详细步骤：

由极限例题知 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y}{x^4+y^2}$ 不存在（沿 $y=x^2$ 极限为 $\frac{1}{2}$ ）
故函数在 $(0,0)$ 处不连续。

答案：在 $(0,0)$ 处不连续。

练习2

证明 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 在整个平面上连续。

参考答案(3 个标签)

连续性多项式函数初等函数

详细步骤：

对任意 $(x_0, y_0)$ ， $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} (x^2+y^2) = x_0^2+y_0^2 = f(x_0,y_0)$
故 $f$ 在任意点连续，即在整个平面上连续。
也可由”多元初等函数在定义域内连续”直接得出。

答案： $f(x,y)=x^2+y^2$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上连续。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$P_0$	点	point zero	连续性讨论的点
$D$	区域	domain	函数的定义域区域
$M$	最大值	maximum	函数在闭区域上的最大值
$m$	最小值	minimum	函数在闭区域上的最小值

中英对照

中文术语	英文术语	音标
连续	continuous	/kənˈtɪnjuəs/
间断点	point of discontinuity	/pɔɪnt əv ˌdɪskəntɪˈnjuːəti/
可去间断点	removable discontinuity	/rɪˈmuːvəbəl ˌdɪskəntɪˈnjuːəti/
最值定理	extreme value theorem	/ɪkˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/
介值定理	intermediate value theorem	/ˌɪntərˈmiːdiət ˈvæljuː ˈθɪərəm/
一致连续	uniformly continuous	/ˈjuːnɪfɔːrmli kənˈtɪnjuəs/
康托定理	Cantor’s theorem	/ˈkæntɔːrz ˈθɪərəm/
初等函数	elementary function	/ˌɛlɪˈmɛntəri ˈfʌŋkʃən/

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