课程总结

本课程从”无限逼近”这一思想出发，先建立极限的严格概念，再区分无穷小与无穷大这对互为倒数的量，随后掌握极限的四则运算法则与复合函数极限，最终落到两大工具——极限存在准则与两个重要极限，以及一套系统的求极限方法。回顾整个课程，主线是：先定义”极限是什么”，再掌握”极限怎么求”，最后用准则与重要极限把方法收敛成套路。

一、课程知识体系

二、极限存在准则与两个重要极限

准则与重要极限是求极限的”发动机”，很多复杂极限最终都要归约到它们：

记忆要点：夹逼靠”放缩两边同值”，单调有界靠”递推数列先证收敛再求极限”；第一重要极限对应 $\frac{0}{0}$ 的三角函数，第二重要极限对应 $1^\infty$ 的幂指函数，看到特征结构就往这两个公式上凑。

三、做题方法总览

遇到求极限问题，可按以下路径选择方法：

1. 先判类型：是数列极限还是函数极限，过程是 $x \to x_0$ 还是 $x \to \infty$，是定式还是未定式（$\frac{0}{0}$、$\frac{\infty}{\infty}$、$1^\infty$ 等）。
2. 定式直接代入：若函数在该点连续（分母非零），直接代入求值，不要绕远路。
3. $\frac{0}{0}$ 型先化简：因式分解约去零因子、根式有理化、变量代换，把未定式化成可代入或可使用重要极限的形式。
4. 认准重要极限特征：含 $\sin$、$\tan$ 的 $\frac{0}{0}$ 型凑第一重要极限；$1^\infty$ 型凑第二重要极限，必要时先取对数转化。
5. 数列与递推用准则：和式或夹在两个易求极限之间的用夹逼准则；递推数列用单调有界准则先证收敛再设极限解方程；能求导后再算未定式时，用洛必达法则收尾。