夹逼准则

夹逼准则（Squeeze Theorem）是极限存在准则中最直观和实用的准则之一，它通过”夹住”目标函数来确定其极限。

其他名称

夹逼准则在不同文献中还有以下名称：

夹值定理（Sandwich Theorem）
三明治定理（Sandwich Theorem）
挤压定理（Squeeze Theorem）
夹逼定理（Pinching Theorem）
中间值定理（Intermediate Value Theorem for Limits）

这些名称都形象地描述了该准则的核心思想：通过两个已知极限的函数来”夹住”目标函数，从而确定其极限。

定理

夹逼准则

如果在某点的邻域内，恒有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ ，且 $\lim g(x) = \lim h(x) = A$ ，则

$\lim f(x) = A$ 。

符号说明

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\varepsilon$	希腊字母	Epsilon（伊普西隆）	表示一个任意小的正数
$\delta$	希腊字母	Delta（德尔塔）	表示与 $\varepsilon$ 相关的正数

几何解释

如果函数 $f(x)$ 被两个函数 $g(x)$ 和 $h(x)$ “夹住”，而这两个函数的极限都趋向于同一个值 $A$ ，那么 $f(x)$ 的极限也必然是 $A$ 。

证明

由于 $\lim g(x) = A$ ，对于任意 $\varepsilon > 0$ ，存在 $\delta_1 > 0$ ，使得当 $0 < \vert x - x_0 \vert < \delta_1$ 时， $\vert g(x) - A \vert < \varepsilon$
由于 $\lim h(x) = A$ ，对于任意 $\varepsilon > 0$ ，存在 $\delta_2 > 0$ ，使得当 $0 < \vert x - x_0 \vert < \delta_2$ 时， $\vert h(x) - A \vert < \varepsilon$
取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$ ，则当 $0 < \vert x - x_0 \vert < \delta$ 时：
- $A - \varepsilon < g(x) \leq f(x) \leq h(x) < A + \varepsilon$
- 因此 $\vert f(x) - A \vert < \varepsilon$
所以 $\lim f(x) = A$

应用场景

函数被其他函数”夹住”
直接计算极限比较困难
函数有振荡性质
涉及三角函数的有界性

练习题

练习 1

利用夹逼准则求极限 $\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x}$ 。

参考答案

夹逼准则

解题思路：利用 $\sin$ 函数的有界性构造夹逼不等式。

详细步骤：

由于 $-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$ ，所以 $-x^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq x^2$
$\lim_{x \to 0} (-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0$
由夹逼准则， $\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0$

最终答案：极限值为 0。

练习 2

求极限 $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$ 。

参考答案

夹逼准则

解题思路：利用 $\sin$ 函数的有界性构造夹逼不等式。

详细步骤：

由于 $-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$ ，所以 $-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|$
$\lim_{x \to 0} (-|x|) = \lim_{x \to 0} |x| = 0$
由夹逼准则， $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$

最终答案：极限值为 0。

练习 3

求极限 $\lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x}$ 。

参考答案

夹逼准则

解题思路：利用 $\cos$ 函数的有界性构造夹逼不等式。

详细步骤：

由于 $-1 \leq \cos \frac{1}{x} \leq 1$ ，所以 $-x^2 \leq x^2 \cos \frac{1}{x} \leq x^2$
$\lim_{x \to 0} (-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0$
由夹逼准则， $\lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x} = 0$

最终答案：极限值为 0。

练习 4

求极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$ 。

参考答案

夹逼准则

解题思路：利用 $\sin$ 函数的有界性构造夹逼不等式。

详细步骤：

由于 $-1 \leq \sin x \leq 1$ ，所以 $-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$
$\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$
由夹逼准则， $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$

最终答案：极限值为 0。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\lim f(x)$	数学符号	limit of f of x	函数的极限
$f(x), g(x), h(x)$	数学符号	f/g/h of x	目标、下界、上界函数
$A$	数学符号	A	上下界的共同极限值
$\varepsilon$	希腊字母	Epsilon（伊普西隆）	任意小的正数
$\delta$	希腊字母	Delta（德尔塔）	与 $\varepsilon$ 相关的正数
$x_0$	数学符号	x-sub-zero	极限点
$\lvert x\rvert$	数学符号	absolute value of x	$x$ 的绝对值
$\sin x, \cos x$	数学符号	sine/cosine of x	三角函数
$\frac{1}{x}$	数学符号	one over x	倒数函数
$\infty$	数学符号	infinity	无穷大

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
夹逼准则	squeeze theorem	/skwiːz ˈθɪərəm/	由上下界夹逼求出极限
夹值定理	sandwich theorem	/ˈsænwɪtʃ ˈθɪərəm/	夹逼准则的别称
三明治定理	sandwich theorem	/ˈsænwɪtʃ ˈθɪərəm/	夹逼准则的别称
邻域	neighborhood	/ˈneɪbəhʊd/	极限点附近的区域
有界性	boundedness	/ˈbaʊndɪdnəs/	函数取值有界的性质
振荡	oscillate	/ˈɒsɪleɪt/	在区间内来回摆动
极限存在准则	criterion for existence of limits	/kraɪˈtɪəriən fɔːr ɪɡˈzɪstəns əv ˈlɪmɪts/	判断极限存在的方法