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夹逼准则

夹逼准则（Squeeze Theorem）是极限存在准则中最直观和实用的准则之一，它通过”夹住”目标函数来确定其极限。

其他名称

夹逼准则在不同文献中还有以下名称：

  • 夹值定理（Sandwich Theorem）
  • 三明治定理（Sandwich Theorem）
  • 挤压定理（Squeeze Theorem）
  • 夹逼定理（Pinching Theorem）
  • 中间值定理（Intermediate Value Theorem for Limits）

这些名称都形象地描述了该准则的核心思想：通过两个已知极限的函数来”夹住”目标函数，从而确定其极限。

定理

夹逼准则

如果在某点的邻域内，恒有 g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x)，且 lim⁡g(x)=lim⁡h(x)=A\lim g(x) = \lim h(x) = A，则

lim⁡f(x)=A\lim f(x) = A。

几何解释

如果函数 f(x)f(x) 被两个函数 g(x)g(x) 和 h(x)h(x) “夹住”，而这两个函数的极限都趋向于同一个值 AA，那么 f(x)f(x) 的极限也必然是 AA。

证明

  1. 由于 lim⁡g(x)=A\lim g(x) = A，对于任意 ε>0\varepsilon > 0，存在 δ1>0\delta_1 > 0，使得当 0<∣x−x0∣<δ10 < \vert x - x_0 \vert < \delta_1 时，∣g(x)−A∣<ε\vert g(x) - A \vert < \varepsilon

  2. 由于 lim⁡h(x)=A\lim h(x) = A，对于任意 ε>0\varepsilon > 0，存在 δ2>0\delta_2 > 0，使得当 0<∣x−x0∣<δ20 < \vert x - x_0 \vert < \delta_2 时，∣h(x)−A∣<ε\vert h(x) - A \vert < \varepsilon

  3. 取 δ=min⁡{δ1,δ2}\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}，则当 0<∣x−x0∣<δ0 < \vert x - x_0 \vert < \delta 时：

    • A−ε<g(x)≤f(x)≤h(x)<A+εA - \varepsilon < g(x) \leq f(x) \leq h(x) < A + \varepsilon
    • 因此 ∣f(x)−A∣<ε\vert f(x) - A \vert < \varepsilon

  4. 所以 lim⁡f(x)=A\lim f(x) = A

符号说明
符号类型读音/说明在本文中的含义
ε\varepsilon希腊字母Epsilon（伊普西隆）表示一个任意小的正数
δ\delta希腊字母Delta（德尔塔）表示与 ε\varepsilon 相关的正数

应用场景

  • 函数被其他函数”夹住”
  • 直接计算极限比较困难
  • 函数有振荡性质
  • 涉及三角函数的有界性

练习题

练习 1

利用夹逼准则求极限 lim⁡x→0x2sin⁡1x\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x}。

参考答案(1 个标签)
夹逼准则

解题思路：利用 sin⁡\sin 函数的有界性构造夹逼不等式。

详细步骤：

  1. 由于 −1≤sin⁡1x≤1-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1，所以 −x2≤x2sin⁡1x≤x2-x^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq x^2

  2. lim⁡x→0(−x2)=lim⁡x→0x2=0\lim_{x \to 0} (-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0

  3. 由夹逼准则，lim⁡x→0x2sin⁡1x=0\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0

答案：极限值为 0。

练习 2

求极限 lim⁡x→0xsin⁡1x\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}。

参考答案(1 个标签)
夹逼准则

解题思路：利用 sin⁡\sin 函数的有界性构造夹逼不等式。

详细步骤：

  1. 由于 −1≤sin⁡1x≤1-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1，所以 −∣x∣≤xsin⁡1x≤∣x∣-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|

  2. lim⁡x→0(−∣x∣)=lim⁡x→0∣x∣=0\lim_{x \to 0} (-|x|) = \lim_{x \to 0} |x| = 0

  3. 由夹逼准则，lim⁡x→0xsin⁡1x=0\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0

答案：极限值为 0。

练习 3

求极限 lim⁡x→0x2cos⁡1x\lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x}。

参考答案(1 个标签)
夹逼准则

解题思路：利用 cos⁡\cos 函数的有界性构造夹逼不等式。

详细步骤：

  1. 由于 −1≤cos⁡1x≤1-1 \leq \cos \frac{1}{x} \leq 1，所以 −x2≤x2cos⁡1x≤x2-x^2 \leq x^2 \cos \frac{1}{x} \leq x^2

  2. lim⁡x→0(−x2)=lim⁡x→0x2=0\lim_{x \to 0} (-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0

  3. 由夹逼准则，lim⁡x→0x2cos⁡1x=0\lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x} = 0

答案：极限值为 0。

练习 4

求极限 lim⁡x→∞sin⁡xx\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}。

参考答案(1 个标签)
夹逼准则

解题思路：利用 sin⁡\sin 函数的有界性构造夹逼不等式。

详细步骤：

  1. 由于 −1≤sin⁡x≤1-1 \leq \sin x \leq 1，所以 −1x≤sin⁡xx≤1x-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}

  2. lim⁡x→∞(−1x)=lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

  3. 由夹逼准则，lim⁡x→∞sin⁡xx=0\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0

答案：极限值为 0。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
lim⁡f(x)\lim f(x)数学符号limit of f of x函数的极限
f(x),g(x),h(x)f(x), g(x), h(x)数学符号f/g/h of x目标、下界、上界函数
AA数学符号A上下界的共同极限值
ε\varepsilon希腊字母Epsilon（伊普西隆）任意小的正数
δ\delta希腊字母Delta（德尔塔）与 ε\varepsilon 相关的正数
x0x_0数学符号x-sub-zero极限点
$x$数学符号
sin⁡x,cos⁡x\sin x, \cos x数学符号sine/cosine of x三角函数
1x\frac{1}{x}数学符号one over x倒数函数
∞\infty数学符号infinity无穷大

中英对照

中文术语英文术语音标说明
夹逼准则squeeze theorem/skwiːz ˈθɪərəm/由上下界夹逼求出极限
夹值定理sandwich theorem/ˈsænwɪtʃ ˈθɪərəm/夹逼准则的别称
三明治定理sandwich theorem/ˈsænwɪtʃ ˈθɪərəm/夹逼准则的别称
邻域neighborhood/ˈneɪbəhʊd/极限点附近的区域
有界性boundedness/ˈbaʊndɪdnəs/函数取值有界的性质
振荡oscillate/ˈɒsɪleɪt/在区间内来回摆动
极限存在准则criterion for existence of limits/kraɪˈtɪəriən fɔːr ɪɡˈzɪstəns əv ˈlɪmɪts/判断极限存在的方法
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单调有界准则：单调有界数列必有极限，判断数列收敛性的重要工具。