直接代入法

直接代入法是求解极限最基础、最直接的方法。当函数在极限点连续时，我们可以直接将极限点的值代入函数求值。

基本原理

直接代入法的基本原理

如果函数 $f(x)$ 在点 $a$ 处连续，那么：

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

适用条件

1. 函数在极限点连续

函数在该点有定义
函数在该点的极限值等于函数值
函数在该点的左极限等于右极限

2. 常见连续函数

多项式函数： $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$
有理函数： $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ （其中 $Q(a) \neq 0$ ）
指数函数： $e^x$
对数函数： $\ln x$ （ $x > 0$ ）
三角函数： $\sin x, \cos x, \tan x$ 等

求解步骤

检查函数在极限点是否有定义
判断函数是否在该点连续
直接代入求值

典型例题

例题 1

求极限 $\lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1)$

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直接代入

解题思路：这是一个多项式函数，在任意点都连续，可以直接代入。

详细步骤：

检查函数类型： $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ 是多项式函数
多项式函数在任意点都连续
直接代入 $x = 3$ ： $f(3) = 2(3)^2 - 5(3) + 1 = 2(9) - 15 + 1 = 18 - 15 + 1 = 4$

答案： $\lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1) = 4$

例题 2

求极限 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 3x - 2}{x - 1}$

参考答案(1 个标签)

直接代入

解题思路：这是一个有理函数，需要检查分母是否为零。

详细步骤：

检查分母：当 $x = 2$ 时，分母 $x - 1 = 2 - 1 = 1 \neq 0$
有理函数在分母不为零的点连续
直接代入 $x = 2$ ： $\frac{2^2 + 3(2) - 2}{2 - 1} = \frac{4 + 6 - 2}{1} = \frac{8}{1} = 8$

答案： $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 3x - 2}{x - 1} = 8$

注意事项

1. 分母为零的情况

如果代入后分母为零，不能使用直接代入法，需要其他方法。

2. 根号内为负数

如果代入后根号内为负数，函数在该点无定义。

3. 对数函数

对数函数的真数必须为正数。

练习题

练习 1

求极限 $\lim_{x \to 1} (x^3 - 2x^2 + x + 5)$

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直接代入

解题思路：多项式函数，直接代入。

详细步骤：

$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 5$ 是多项式函数
多项式函数在任意点连续
直接代入 $x = 1$ ： $f(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 + 5 = 1 - 2 + 1 + 5 = 5$

答案： $\lim_{x \to 1} (x^3 - 2x^2 + x + 5) = 5$

练习 2

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

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直接代入

解题思路：这是一个重要极限，不能直接代入，需要使用其他方法。

详细步骤：

当 $x = 0$ 时，分子 $\sin 0 = 0$ ，分母 $x = 0$
这是 $\frac{0}{0}$ 型不定式，不能直接代入
需要使用重要极限： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

答案： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\lim_{x \to a} f(x)$	数学符号	limit as x approaches a	函数在 $x \to a$ 时的极限
$f(a)$	数学符号	f of a	函数在点 $a$ 处的取值
$a$	数学符号	a	极限点
$P(x)$	数学符号	P of x	多项式函数
$Q(x)$	数学符号	Q of x	有理函数的分母
$e^x$	数学符号	e to the x	指数函数
$\ln x$	数学符号	natural logarithm of x	自然对数函数
$\sin x, \cos x, \tan x$	数学符号	sine/cosine/tangent of x	三角函数
$\frac{0}{0}$	数学符号	zero over zero	不定式

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
直接代入法	direct substitution	/dəˈrekt ˌsʌbstɪˈtjuːʃən/	直接代入极限点求值的方法
连续函数	continuous function	/kənˈtɪnjuəs ˈfʌŋkʃən/	不间断的函数
多项式函数	polynomial function	/ˌpɒlɪˈnəʊmiəl ˈfʌŋkʃən/	多项式的函数
有理函数	rational function	/ˈræʃənəl ˈfʌŋkʃən/	多项式除以多项式的函数
指数函数	exponential function	/ˌekspəˈnenʃəl ˈfʌŋkʃən/	形如 $a^x$ 的函数
对数函数	logarithmic function	/ˌlɒɡəˈrɪðmɪk ˈfʌŋkʃən/	对数运算的函数
三角函数	trigonometric function	/ˌtrɪɡənəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃən/	正弦、余弦等函数
不定式	indeterminate form	/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/	无法直接确定的极限形式

通过因式分解约去分子分母的共同零因子，求解 0/0 型不定式极限的方法。