重要极限综合练习

解题思路： 利用第一个重要极限的推广形式。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} 5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x}$

2. $= 5 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 5 \cdot 1 = 5$

最终答案：极限值为 5。

解题思路： 利用第二个重要极限的推广形式 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$。

详细步骤：

1. 令 $t = \dfrac{x}{3}$，则 $\left(1 + \frac{3}{x}\right)^x = \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{3t} = \left[\left(1 + \frac{1}{t}\right)^t\right]^3$。
2. 括号内趋于 $e$（第二重要极限）。
3. 因此原式 $= e^3$。

最终答案：极限值为 $e^3$。

解题思路： 利用等价无穷小代换。

详细步骤：

1. 当 $x \to 0$ 时，$e^x - 1 \sim x$，$\sin x \sim x$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

最终答案：极限值为 1。

解题思路： 利用对数函数极限。

详细步骤：

1. 当 $x \to 0$ 时，$\ln(1 + x^2) \sim x^2$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} = 1$

最终答案：极限值为 1。

解题思路： 利用幂函数极限公式 $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^n - 1}{x} = n$。

详细步骤：

1. 二项展开：$(1+x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3$。
2. 分子化为 $x(3 + 3x + x^2)$，约去 $x$。
3. 令 $x \to 0$，括号内趋于 $3$，故原式等于 $3$。

最终答案：极限值为 3。

解题思路： 利用正切函数极限和变量代换。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x} = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\tan 2x}{2x} = 2 \cdot 1 = 2$

最终答案：极限值为 2。

解题思路： 利用余弦函数极限 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$，它可以由第一个重要极限推出。

详细步骤：

1. 由 $\sin \frac{x}{2} \sim \frac{x}{2}$ 与 $\cos \frac{x}{2} \to 1$，得 $1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2} \sim 2 \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{2}$
2. 因此 $1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$，代入原式并用等价无穷小替换： $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2/2}{x^2} = \frac{1}{2}$

最终答案：极限值为 $\frac{1}{2}$。

解题思路： 利用变量代换和第二个重要极限。

详细步骤：

1. 令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to 0$ 时，$t \to \infty$

2. $\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{2}{t}\right)^t = e^2$

最终答案：极限值为 $e^2$。

解题思路： 利用复合函数的等价无穷小。

详细步骤：

1. 当 $x \to 0$ 时，$e^x - 1 \sim x$

2. 因此 $\sin(e^x - 1) \sim e^x - 1 \sim x$

3. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(e^x - 1)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

最终答案：极限值为 1。

解题思路： 利用变量代换和第二个重要极限。

详细步骤：

1. 令 $t = x + 1$，则当 $x \to \infty$ 时，$t \to \infty$

2. $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x+1}\right)^x = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t-1}$

3. $= \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t \cdot \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{-1} = e \cdot 1 = e$

最终答案：极限值为 $e$。

解题思路： 利用复合函数的等价无穷小。

详细步骤：

1. 当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$

2. 因此 $e^{\sin x} - 1 \sim \sin x \sim x$

3. $\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

最终答案：极限值为 1。

解题思路： 利用反正弦函数极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$，它等价于 $\arcsin x \sim x$。

详细步骤：

1. 令 $t = \arcsin x$，则 $x = \sin t$，当 $x \to 0$ 时 $t \to 0$。
2. 改写原式：$\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\sin t / t}$。
3. 由第一个重要极限 $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$，原式等于 $1$。

最终答案：极限值为 1。

解题思路： 利用反正切函数极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$，它等价于 $\arctan x \sim x$。

详细步骤：

1. 令 $t = \arctan x$，则 $x = \tan t$，当 $x \to 0$ 时 $t \to 0$。
2. 改写原式：$\lim_{t \to 0} \frac{t}{\tan t} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} \cdot \cos t$。
3. 由第一个重要极限与 $\cos t \to 1$，原式等于 $1 \times 1 = 1$。

最终答案：极限值为 1。

解题思路： 利用变量代换和第二个重要极限。

详细步骤：

1. 令 $t = x^2$，则当 $x \to \infty$ 时，$t \to \infty$

2. $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{x^2} = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t = e$

最终答案：极限值为 $e$。

解题思路： 利用变量代换和第一个重要极限。

详细步骤：

1. 令 $t = x^3$，则当 $x \to 0$ 时，$t \to 0$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^3}{x^3} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

最终答案：极限值为 1。