反三角函数极限

反三角函数极限是极限理论中的重要公式，在极限计算中经常用到。

反正弦函数极限

$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$

等价无穷小：当 $x \to 0$ 时， $\arcsin x \sim x$

$\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$

等价无穷小：当 $x \to 0$ 时， $\arctan x \sim x$

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 2x}{x}$ 。

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反三角函数极限

解题思路：利用反正弦函数极限和变量代换。

详细步骤：

$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\arcsin 2x}{2x} = 2 \cdot 1 = 2$

答案：极限值为 2。

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan 3x}{x}$ 。

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反三角函数极限

解题思路：利用反正切函数极限和变量代换。

详细步骤：

$\lim_{x \to 0} \frac{\arctan 3x}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\arctan 3x}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$

答案：极限值为 3。

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{\arctan x}$ 。

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反三角函数极限

解题思路：利用等价无穷小代换。

详细步骤：

答案：极限值为 1。

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\arcsin$	数学符号	反正弦函数	正弦函数的反函数
$\arctan$	数学符号	反正切函数	正切函数的反函数
$\lim$	数学符号	极限	表示函数或数列的极限
$\to$	数学符号	趋向于	表示变量趋向于某个值
$\sim$	数学符号	等价符号	表示等价无穷小

中文术语	英文术语	音标	说明
反三角函数	inverse trigonometric function	/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃən/	三角函数的反函数
反正弦函数	arcsine function	/ˈɑːksaɪn ˈfʌŋkʃən/	正弦函数的反函数
反正切函数	arctangent function	/ˈɑːktændʒənt ˈfʌŋkʃən/	正切函数的反函数
等价无穷小	equivalent infinitesimal	/ɪˈkwɪvələnt ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/	两个无穷小的比值趋于 1
变量代换	variable substitution	/ˈveəriəbəl ˌsʌbstɪˈtjuːʃən/	用新变量替换原变量
反函数	inverse function	/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃən/	与原函数互为逆运算的函数