等价无穷小替换法

解题思路： 这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，可以使用等价无穷小替换。

详细步骤：

1. 检查不定式类型：

   • 当 $x \to 0$ 时，分子 $\sin 3x \to 0$
   • 当 $x \to 0$ 时，分母 $\tan 2x \to 0$
   • 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式

2. 使用等价无穷小替换：

   • $\sin 3x \sim 3x$
   • $\tan 2x \sim 2x$

3. 替换后求极限： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

最终答案： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} = \frac{3}{2}$

解题思路： 这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，可以使用等价无穷小替换。

详细步骤：

1. 检查不定式类型：

   • 当 $x \to 0$ 时，分子 $\ln(1 + x^2) \to 0$
   • 当 $x \to 0$ 时，分母 $x^2 \to 0$
   • 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式

2. 使用等价无穷小替换：

   • $\ln(1 + x^2) \sim x^2$

3. 替换后求极限： $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} 1 = 1$

最终答案： $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} = 1$

解题思路： 这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，可以使用等价无穷小替换。

详细步骤：

1. 检查不定式类型：

   • 当 $x \to 0$ 时，分子 $e^x - 1 \to 0$
   • 当 $x \to 0$ 时，分母 $\sin x \to 0$
   • 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式

2. 使用等价无穷小替换：

   • $e^x - 1 \sim x$
   • $\sin x \sim x$

3. 替换后求极限： $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0} 1 = 1$

最终答案： $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = 1$

解题思路： 这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，需要使用高阶等价关系。

详细步骤：

1. 检查不定式类型：

   • 当 $x \to 0$ 时，分子 $\tan x - x \to 0$
   • 当 $x \to 0$ 时，分母 $x^3 \to 0$
   • 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式

2. 使用高阶等价关系：

   • $\tan x - x \sim \frac{x^3}{3}$

3. 替换后求极限： $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3}}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

最终答案： $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \frac{1}{3}$