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高等数学之极限的世界

夹逼准则

夹逼准则是求解极限的重要方法，特别适用于直接计算困难的极限。通过构造两个已知极限的函数来”夹逼”目标函数，从而求出极限值。

几何意义

从图中可以看出，蓝色曲线 g(x)=xsin⁡1xg(x) = x \sin \frac{1}{x} 被红色虚线 f(x)=−∣x∣f(x) = -|x| 和绿色虚线 h(x)=∣x∣h(x) = |x| 夹在中间。当 x→0x \to 0 时，上下两条边界曲线都趋向于 0，因此被夹在中间的 g(x)g(x) 也必然趋向于 0。

基本原理

夹逼准则

如果对于所有 xx（在某个去心邻域内），都有：

f(x)≤g(x)≤h(x)f(x) \leq g(x) \leq h(x)

并且：

lim⁡x→af(x)=lim⁡x→ah(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L

那么：

lim⁡x→ag(x)=L\lim_{x \to a} g(x) = L

适用条件

1. 直接计算困难

  • 函数形式复杂
  • 无法使用常规方法
  • 涉及三角函数、指数函数等

2. 可以构造不等式

  • 能够找到上界和下界
  • 上界和下界的极限相等

3. 常见情况

  • 含有 sin⁡x\sin x、cos⁡x\cos x 的函数
  • 含有 xsin⁡1xx \sin \frac{1}{x} 的函数
  • 含有 xcos⁡1xx \cos \frac{1}{x} 的函数

构造技巧

夹逼准则常用不等式

1. 利用三角函数的有界性

−1≤sin⁡x≤1-1 \leq \sin x \leq 1 −1≤cos⁡x≤1-1 \leq \cos x \leq 1

2. 利用绝对值

∣x∣≥0\vert x \vert \geq 0

3. 利用基本不等式

x2≥0x^2 \geq 0 ex>0e^x > 0

典型例题

例题 1

求极限 lim⁡x→0xsin⁡1x\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}

夹逼准则

解题思路：这是一个直接计算困难的极限，可以使用夹逼准则。

详细步骤：

  1. 分析函数特点：

    • 当 x→0x \to 0 时，x→0x \to 0
    • sin⁡1x\sin \frac{1}{x} 在 [−1,1][-1, 1] 之间振荡
    • 无法直接计算

  2. 构造不等式：

    • 由于 −1≤sin⁡1x≤1-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1
    • 所以 −∣x∣≤xsin⁡1x≤∣x∣-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|

  3. 求边界函数的极限：

    • lim⁡x→0(−∣x∣)=0\lim_{x \to 0} (-|x|) = 0
    • lim⁡x→0∣x∣=0\lim_{x \to 0} |x| = 0

  4. 应用夹逼准则：

    • 由于 −∣x∣≤xsin⁡1x≤∣x∣-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|
    • 且 lim⁡x→0(−∣x∣)=lim⁡x→0∣x∣=0\lim_{x \to 0} (-|x|) = \lim_{x \to 0} |x| = 0
    • 所以 lim⁡x→0xsin⁡1x=0\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0

最终答案： lim⁡x→0xsin⁡1x=0\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0

例题 2

求极限 lim⁡x→∞sin⁡xx\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}

夹逼准则

解题思路：这是一个 0∞\frac{0}{\infty} 型不定式，可以使用夹逼准则。

详细步骤：

  1. 分析函数特点：

    • 当 x→∞x \to \infty 时，分母 x→∞x \to \infty
    • 分子 sin⁡x\sin x 在 [−1,1][-1, 1] 之间振荡

  2. 构造不等式：

    • 由于 −1≤sin⁡x≤1-1 \leq \sin x \leq 1
    • 所以 −1x≤sin⁡xx≤1x-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}

  3. 求边界函数的极限：

    • lim⁡x→∞(−1x)=0\lim_{x \to \infty} (-\frac{1}{x}) = 0
    • lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

  4. 应用夹逼准则：

    • 由于 −1x≤sin⁡xx≤1x-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}
    • 且 lim⁡x→∞(−1x)=lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \to \infty} (-\frac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0
    • 所以 lim⁡x→∞sin⁡xx=0\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0

最终答案： lim⁡x→∞sin⁡xx=0\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0

练习题

练习 1

求极限 lim⁡x→0x2cos⁡1x\lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x}

夹逼准则

解题思路：这是一个直接计算困难的极限，可以使用夹逼准则。

详细步骤：

  1. 分析函数特点：

    • 当 x→0x \to 0 时，x2→0x^2 \to 0
    • cos⁡1x\cos \frac{1}{x} 在 [−1,1][-1, 1] 之间振荡

  2. 构造不等式：

    • 由于 −1≤cos⁡1x≤1-1 \leq \cos \frac{1}{x} \leq 1
    • 所以 −x2≤x2cos⁡1x≤x2-x^2 \leq x^2 \cos \frac{1}{x} \leq x^2

  3. 求边界函数的极限：

    • lim⁡x→0(−x2)=0\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0
    • lim⁡x→0x2=0\lim_{x \to 0} x^2 = 0

  4. 应用夹逼准则：

    • 由于 −x2≤x2cos⁡1x≤x2-x^2 \leq x^2 \cos \frac{1}{x} \leq x^2
    • 且 lim⁡x→0(−x2)=lim⁡x→0x2=0\lim_{x \to 0} (-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0
    • 所以 lim⁡x→0x2cos⁡1x=0\lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x} = 0

最终答案： lim⁡x→0x2cos⁡1x=0\lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x} = 0

练习 2

求极限 lim⁡x→0x2sin⁡1xx\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x}

夹逼准则

解题思路：这是一个 00\frac{0}{0} 型不定式，可以使用夹逼准则。

详细步骤：

  1. 化简表达式： x2sin⁡1xx=xsin⁡1x\frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x} = x \sin \frac{1}{x}

  2. 分析函数特点：

    • 当 x→0x \to 0 时，x→0x \to 0
    • sin⁡1x\sin \frac{1}{x} 在 [−1,1][-1, 1] 之间振荡

  3. 构造不等式：

    • 由于 −1≤sin⁡1x≤1-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1
    • 所以 −∣x∣≤xsin⁡1x≤∣x∣-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|

  4. 求边界函数的极限：

    • lim⁡x→0(−∣x∣)=0\lim_{x \to 0} (-|x|) = 0
    • lim⁡x→0∣x∣=0\lim_{x \to 0} |x| = 0

  5. 应用夹逼准则：

    • 由于 −∣x∣≤xsin⁡1x≤∣x∣-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|
    • 且 lim⁡x→0(−∣x∣)=lim⁡x→0∣x∣=0\lim_{x \to 0} (-|x|) = \lim_{x \to 0} |x| = 0
    • 所以 lim⁡x→0xsin⁡1x=0\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0

最终答案： lim⁡x→0x2sin⁡1xx=0\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x} = 0

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
lim⁡x→a\lim_{x \to a}数学符号limit as x approaches ax→ax \to a 时的极限
f(x),g(x),h(x)f(x), g(x), h(x)数学符号f/g/h of x下界、目标、上界函数
LL数学符号L上下界的共同极限值
∣x∣\lvert x\rvert数学符号absolute value of xxx 的绝对值
sin⁡x,cos⁡x\sin x, \cos x数学符号sine/cosine of x三角函数
1x\frac{1}{x}数学符号one over x倒数函数
∞\infty数学符号infinity无穷大
≤\leq数学符号less than or equal to小于或等于

中英对照

中文术语英文术语音标说明
夹逼准则squeeze theorem/skwiːz ˈθɪərəm/由上下界夹逼求出极限
去心邻域punctured neighborhood/ˈpʌŋktʃəd ˈneɪbəhʊd/不含中心点的邻域
上界upper bound/ˈʌpə baʊnd/不小于所有函数值的数
下界lower bound/ˈləʊə baʊnd/不大于所有函数值的数
有界性boundedness/ˈbaʊndɪdnəs/函数取值有界的性质
振荡oscillate/ˈɒsɪleɪt/在区间内来回摆动
绝对值absolute value/ˈæbsəluːt ˈvæljuː/一个数的非负值
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