复合函数的极限

复合函数的极限是极限运算中的重要内容，它描述了如何计算由两个函数复合而成的函数的极限。

定理

定理的条件

1. 内层函数的极限存在

$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 必须存在

2. 外层函数在内层极限处连续

$\lim_{u \to A} g(u) = B$ 必须存在

3. 内层函数不等于极限值

$f(x) \neq A$（当 $x \neq x_0$ 时）

这个条件保证了在求极限过程中，$u = f(x)$ 不会取到 $A$，从而可以使用 $\lim_{u \to A} g(u) = B$。

应用例子

例子 1

计算 $\lim_{x \to 0} \sin(x^2)$

解：

1. 令 $u = x^2$，则当 $x \to 0$ 时，$u \to 0$

2. $\lim_{x \to 0} \sin(x^2) = \lim_{u \to 0} \sin u = 0$

例子 2

计算 $\lim_{x \to 1} e^{x-1}$

解：

1. 令 $u = x - 1$，则当 $x \to 1$ 时，$u \to 0$

2. $\lim_{x \to 1} e^{x-1} = \lim_{u \to 0} e^u = e^0 = 1$

例子 3

计算 $\lim_{x \to 0} \ln(1 + x^2)$

解：

1. 令 $u = x^2$，则当 $x \to 0$ 时，$u \to 0$

2. $\lim_{x \to 0} \ln(1 + x^2) = \lim_{u \to 0} \ln(1 + u) = \ln 1 = 0$

连续函数的复合

如果 $g(u)$ 在 $u = A$ 处连续，即 $\lim_{u \to A} g(u) = g(A)$，则：

这个结论表明，对于连续函数，极限符号可以与函数符号交换顺序。

例子

• $\lim_{x \to 0} e^{x^2} = e^{\lim_{x \to 0} x^2} = e^0 = 1$
• $\lim_{x \to 1} \sin(x - 1) = \sin(\lim_{x \to 1} (x - 1)) = \sin 0 = 0$
• $\lim_{x \to 0} \ln(1 + x^2) = \ln(\lim_{x \to 0} (1 + x^2)) = \ln 1 = 0$

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练习题

练习 1

计算极限 $\lim_{x \to 0} \cos(x^2)$。

练习 2

计算极限 $\lim_{x \to 2} e^{x^2 - 4}$。

练习 3

计算极限 $\lim_{x \to 0} \ln(1 + \sin x)$。

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总结

本文出现的符号

中英对照