三角函数极限

三角函数极限是极限理论中的重要公式，在极限计算中经常用到。

余弦函数极限

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

等价无穷小：当 $x \to 0$ 时， $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$

正切函数极限

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$

等价无穷小：当 $x \to 0$ 时， $\tan x \sim x$

证明思路：利用第一个重要极限： $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x} = \frac{1}{1} = 1$

基本形式

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$

证明思路

利用第一个重要极限： $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x} = \frac{1}{1} = 1$

等价无穷小

利用这个重要极限，我们可以得到重要的等价无穷小：

当 $x \to 0$ 时， $\tan x \sim x$

应用例子

求 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x}$

解： $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x} = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\tan 2x}{2x} = 2 \cdot 1 = 2$

练习题

练习 1

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x}$ 。

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三角函数极限

解题思路：利用正切函数极限和变量代换。

详细步骤：

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x} = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\tan 2x}{2x} = 2 \cdot 1 = 2$

答案：极限值为 2。

练习 2

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}$ 。

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三角函数极限

解题思路：利用余弦函数极限和变量代换。

详细步骤：

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = \lim_{x \to 0} 4 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{(2x)^2} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$

答案：极限值为 2。

练习 3

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 2x}$ 。

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三角函数极限

解题思路：利用等价无穷小代换。

详细步骤：

当 $x \to 0$ 时， $\tan 3x \sim 3x$ ， $\sin 2x \sim 2x$
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$

答案：极限值为 $\frac{3}{2}$ 。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sin$	数学符号	正弦函数	三角函数之一
$\cos$	数学符号	余弦函数	三角函数之一
$\tan$	数学符号	正切函数	三角函数之一
$\lim$	数学符号	极限	表示函数或数列的极限
$\to$	数学符号	趋向于	表示变量趋向于某个值
$\sim$	数学符号	等价符号	表示等价无穷小

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
三角函数	trigonometric function	/ˌtrɪɡənəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃən/	与角度相关的函数
正弦函数	sine function	/saɪn ˈfʌŋkʃən/	三角函数之一
余弦函数	cosine function	/ˈkəʊsaɪn ˈfʌŋkʃən/	三角函数之一
正切函数	tangent function	/ˈtændʒənt ˈfʌŋkʃən/	三角函数之一
等价无穷小	equivalent infinitesimal	/ɪˈkwɪvələnt ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/	两个无穷小的比值趋于 1
变量代换	variable substitution	/ˈveəriəbəl ˌsʌbstɪˈtjuːʃən/	用新变量替换原变量

重要极限在实际问题中的应用：从极限计算到建模的多种场景。