三角函数极限

三角函数极限是极限理论中的重要公式，在极限计算中经常用到。

余弦函数极限

正切函数极限

基本形式

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$

证明思路

利用第一个重要极限： $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x} = \frac{1}{1} = 1$

等价无穷小

利用这个重要极限，我们可以得到重要的等价无穷小：

• 当 $x \to 0$ 时，$\tan x \sim x$

应用例子

求 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x}$

解： $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x} = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\tan 2x}{2x} = 2 \cdot 1 = 2$

练习题

练习 1

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x}$。

练习 2

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}$。

练习 3

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 2x}$。

总结

本文出现的符号

中英对照