泰勒展开与函数的幂级数展开

泰勒级数与麦克劳林级数

泰勒级数

如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处具有任意阶导数，则称幂级数

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots$

为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的泰勒级数。

当 $x_0 = 0$ 时，泰勒级数变为

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

称为麦克劳林级数。

重要区别：

函数在某点有任意阶导数 ⟹ 可以写出泰勒级数（形式上）。
但泰勒级数不一定收敛于函数本身！泰勒级数收敛于 $f(x)$ 需要额外条件。
只有当泰勒级数在某区间内收敛于 $f(x)$ 时，才能说 $f(x)$ 在该区间内可以展开成幂级数。

函数展开成幂级数的条件

定理1

充要条件：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内具有任意阶导数，则 $f(x)$ 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是： $f(x)$ 的泰勒公式中的余项 $R_n(x)$ 当 $n \to \infty$ 时的极限为零，即

$\lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0$

其中泰勒公式为：

$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x)$

常用的余项形式：

拉格朗日余项： $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ （ $\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间）
佩亚诺余项： $R_n(x) = o((x-x_0)^n)$

几何解释

推论

证明

符号说明

定理2

充分条件：如果函数 $f(x)$ 的各阶导数在点 $x_0$ 的某邻域内一致有界（即存在常数 $M > 0$ ，使得 $|f^{(n)}(x)| \leq M$ 对所有 $n$ 和该邻域内所有 $x$ 成立），则 $f(x)$ 在该邻域内可以展开成泰勒级数。

几何解释

推论

证明

符号说明

常见函数的麦克劳林展开

常用麦克劳林展开式

指数函数： $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots$ （ $x \in (-\infty, +\infty)$ ）
正弦函数： $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ （ $x \in (-\infty, +\infty)$ ）
余弦函数： $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$ （ $x \in (-\infty, +\infty)$ ）
几何级数： $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \cdots$ （ $|x| < 1$ ）
对数函数： $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ （ $x \in (-1, 1]$ ）
二项式展开： $(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots$ （ $|x| < 1$ ， $\alpha$ 为任意实数）
反正切函数： $\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$ （ $x \in [-1, 1]$ ）

函数展开成幂级数的方法

两种展开方法：

直接展开法：求出各阶导数，代入泰勒级数公式，再验证余项趋于零。这种方法计算量大，且验证余项往往困难。
间接展开法：利用已知的函数展开式，通过变量替换、四则运算、逐项求导、逐项积分等方法，将函数展开成幂级数。这是最常用的方法，因为幂级数展开是唯一的。

典型例题

例题1：间接展开——变量替换

将 $f(x) = e^{-x^2}$ 展开成麦克劳林级数。

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间接展开变量替换指数函数

已知 $e^t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}$ （ $t \in (-\infty, +\infty)$ ）
令 $t = -x^2$ ，代入得： $e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$
收敛域： $x \in (-\infty, +\infty)$

答案： $e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$ （ $x \in \mathbb{R}$ ）。

例题2：间接展开——逐项积分

将 $f(x) = \arctan x$ 展开成麦克劳林级数。

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间接展开逐项积分反正切函数

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$
已知 $\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n$ （ $|t| < 1$ ），令 $t = -x^2$ ： $\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$ （ $|x| < 1$ ）
逐项积分： $\arctan x = \int_0^x \frac{1}{1+t^2} dt = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_0^x t^{2n} dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$
端点验证： $x = \pm 1$ 时级数收敛（交错级数），故收敛域为 $[-1, 1]$

答案： $\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ （ $x \in [-1, 1]$ ）。

例题3：间接展开——四则运算

将 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 4x + 3}$ 展开成 $(x-1)$ 的幂级数。

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间接展开部分分式平移展开

部分分式分解： $\frac{1}{x^2+4x+3} = \frac{1}{(x+1)(x+3)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3}\right)$
令 $t = x - 1$ ，则 $x = t + 1$ ： $\frac{1}{x+1} = \frac{1}{t+2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+\frac{t}{2}} = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{t}{2}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n t^n}{2^{n+1}}$ （ $|t| < 2$ ） $\frac{1}{x+3} = \frac{1}{t+4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1+\frac{t}{4}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n t^n}{4^{n+1}}$ （ $|t| < 4$ ）
取交集 $|t| < 2$ ： $f(x) = \frac{1}{2}\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n t^n}{2^{n+1}} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n t^n}{4^{n+1}}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{1}{2^{n+2}} - \frac{1}{2 \cdot 4^{n+1}}\right) t^n$
代回 $t = x-1$ ，收敛域 $|x-1| < 2$ ，即 $x \in (-1, 3)$

答案： $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{1}{2^{n+2}} - \frac{1}{2 \cdot 4^{n+1}}\right)(x-1)^n$ （ $x \in (-1, 3)$ ）。

练习题

练习1

将 $f(x) = \cos^2 x$ 展开成麦克劳林级数。

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间接展开三角恒等式余弦函数

利用恒等式 $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$
$\cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 4^n x^{2n}}{(2n)!}$
$\cos^2 x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 4^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n-1} x^{2n}}{(2n)!}$

答案： $\cos^2 x = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n-1} x^{2n}}{(2n)!}$ （ $x \in \mathbb{R}$ ）。

练习2

将 $f(x) = \frac{1}{(1-x)^2}$ 展开成麦克劳林级数。

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间接展开逐项求导几何级数

已知 $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ （ $|x| < 1$ ）
两边求导： $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n$ （ $|x| < 1$ ）

答案： $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n$ （ $|x| < 1$ ）。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$f^{(n)}(x)$	n阶导数	nth derivative	函数的n阶导数
$R_n(x)$	余项	remainder	泰勒公式的余项
$x_0$	展开中心	center	泰勒展开的中心点
$\xi$	中值点	xi	拉格朗日余项中的中值点
$\binom{\alpha}{n}$	二项式系数	binomial coefficient	广义二项式系数

中英对照

中文术语	英文术语	音标
泰勒级数	Taylor series	/ˈteɪlər ˈsɪəriːz/
麦克劳林级数	Maclaurin series	/məkˈlɔːrɪn ˈsɪəriːz/
泰勒公式	Taylor formula	/ˈteɪlər ˈfɔːrmjələ/
泰勒展开	Taylor expansion	/ˈteɪlər ɪkˈspænʃən/
拉格朗日余项	Lagrange remainder	/ləˈɡrɑːndʒ rɪˈmeɪndər/
佩亚诺余项	Peano remainder	/peɪˈɑːnoʊ rɪˈmeɪndər/
直接展开法	direct expansion	/dəˈrɛkt ɪkˈspænʃən/
间接展开法	indirect expansion	/ˌɪndəˈrɛkt ɪkˈspænʃən/
二项式展开	binomial expansion	/baɪˈnoʊmiəl ɪkˈspænʃən/
收敛于	converge to	/kənˈvɜːrdʒ tuː/
任意阶导数	derivatives of all orders	/dɪˈrɪvətɪvz əv ɔːl ˈɔːrdərz/

上一章节幂级数的运算性质学习幂级数的四则运算、和函数的性质、逐项求导与逐项积分，以及幂级数的唯一性。

下一章节收敛性判别法学习各种级数收敛判别法，包括正项级数、交错级数以及一般（任意项）级数的判别法。